• 2 - 2,0 ) Determine a massa:
    de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e .

Passo 1

Bom, vamos lá! O enunciado pede para determinar a massa de um sólido que tem densidade constante. Esse sólido está limitado por algumas superfícies: um cilindro parabólico dado por e pelos planos , e . Vamos usar cálculo de integrais múltiplas para achar o volume desse sólido, e como a densidade é constante, a massa será proporcional a esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as limites de integração. Como temos , isso nos dá a relação entre e . E os planos , e nos ajudam a definir os limites para e .

Passo 3

Vamos definir os limites para . Sabemos que varia de a , já que um dos planos é .

Passo 4

Para cada valor de , varia de a , porque implica .

Passo 5

Para , ele varia de (plano ) até (plano ).

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume :

Passo 7

Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em :
Então, a integral fica:

Passo 9

Simplificamos para e integramos em :

Passo 10

Como a densidade é constante, a massa é dada por:

Resposta

A massa do sólido é vezes a densidade constante, ou seja:

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Seja . Determine onde .
Determine .
Determine .
A. Determine o volume do sólido que está acima do cone e abaixo do plano .
usando coordenadas cilíndricas.