- 2 - 2,0 ) Determine a massa:
de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico
Passo 1
Bom, vamos lá! O enunciado pede para determinar a massa de um sólido que tem densidade constante. Esse sólido está limitado por algumas superfícies: um cilindro parabólico dado por
e pelos planos
,
e
. Vamos usar cálculo de integrais múltiplas para achar o volume desse sólido, e como a densidade é constante, a massa será proporcional a esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as limites de integração. Como temos
, isso nos dá a relação entre
e
. E os planos
,
e
nos ajudam a definir os limites para
e
.
Passo 3
Vamos definir os limites para
. Sabemos que
varia de
a
, já que um dos planos é
.
Passo 4
Para cada valor de
,
varia de
a
, porque
implica
.
Passo 5
Para
, ele varia de
(plano
) até
(plano
).
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Simplificamos
para
e integramos em
:
Passo 10
Como a densidade
é constante, a massa
é dada por:
Resposta
A massa do sólido é
vezes a densidade constante, ou seja:
Exercícios relacionados
Seja
. Determine
onde
.
Determine
.
Determine
.
A.
Determine o volume do sólido que está acima do cone
e abaixo do plano
.
usando coordenadas cilíndricas.
usando coordenadas cilíndricas.