Determine: lim x -infty raizx^2+x+1raiz[3]x^3+2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o limite quando tende a menos infinito da expressão . Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente tratando de limites envolvendo funções com raízes. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando cresce muito em magnitude (no caso, tende a menos infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador raizx^2+x+1 approx raizx^2 = |x| . Quando |x| = -x (já que ( x < 0 )) tende a menos infinito, os termos com maior grau (número elevado a maior potência) dominam a expressão. Aqui, raizx^2+x+1 approx -x é o termo de maior grau dentro da raiz quadrada.
Então, podemos aproximar:
Como está indo para menos infinito, é negativo, e o valor absoluto de ( ) será igual a :
á
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador raiz[3]x^3+2 x+1 approx raiz[3]x^3 = x . Novamente, focamos no termo de maior grau, que é .
Então:
Aqui, como está indo para menos infinito, a raiz cúbica de é simplesmente mesmo.

Passo 4

Agora que simplificamos o numerador e o denominador, podemos reescrever a expressão original aproximada para valores de raizx^2+x+1raiz[3]x^3+2 x+1 approx -xx muito grandes em magnitude:
-xx = -1
Simplificando essa fração:

Resposta

Portanto, o limite é lim x -infty raizx^2+x+1raiz[3]x^3+2 x+1 = -1 .

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