Verifique se a sequência é convergente ou divergente, se for convergente encontre o limite
© (3n^3 + 1)/(2n^2 + n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência dada por . Nosso trabalho é descobrir se essa sequência converge para algum número ou se ela diverge, ou seja, não tem um limite definido. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento dessa expressão à medida que cresce cada vez mais. Vamos precisar usar conhecimentos de limites de sequências e propriedades de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Quando queremos encontrar o limite de uma fração onde os termos são polinômios, a gente fica de olho nos termos de maior grau, porque eles dominam o comportamento da função quando fica muito grande.

Passo 3

Então, para simplificar, vamos dividir cada termo pelo maior grau presente no denominador, que é . Assim, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo conforme tende ao infinito:
  • cresce sem limites, ou seja, vai para .
  • vai para .
  • continua sendo .
  • também vai para .
Então, a expressão simplificada fica aproximadamente:

Passo 5

Agora, claramente, à medida que tende ao infinito, também vai para o infinito. Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum número finito; na verdade, ela está crescendo sem limites.

Resposta

A sequência é divergente, ou seja, não possui um limite finito.

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