Verifique se a sequência é convergente ou divergente, se for convergente encontre o limite
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência dada por
. Nosso trabalho é descobrir se essa sequência converge para algum número ou se ela diverge, ou seja, não tem um limite definido. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento dessa expressão à medida que
cresce cada vez mais. Vamos precisar usar conhecimentos de limites de sequências e propriedades de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
. Quando queremos encontrar o limite de uma fração onde os termos são polinômios, a gente fica de olho nos termos de maior grau, porque eles dominam o comportamento da função quando
fica muito grande.
Passo 3
Então, para simplificar, vamos dividir cada termo pelo maior grau presente no denominador, que é
. Assim, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo conforme
tende ao infinito:
-
cresce sem limites, ou seja, vai para . -
vai para . -
continua sendo . -
também vai para .
Então, a expressão simplificada fica aproximadamente:
Passo 5
Agora, claramente, à medida que
tende ao infinito,
também vai para o infinito. Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum número finito; na verdade, ela está crescendo sem limites.
Resposta
A sequência
é divergente, ou seja, não possui um limite finito.