Determine:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar o limite quando
tende a menos infinito de
. Vamos usar conceitos de limites e logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a expressão original de
:
Para facilitar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
tende a menos infinito.
Passo 3
Vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
Quando
tende a menos infinito,
tende a 0, então:
Mas precisamos de uma aproximação mais precisa para o logaritmo.
Passo 4
Usando a expansão de Taylor para
quando
é pequeno:
Vamos reescrever
como:
Então:
Passo 5
Multiplicando pelo
:
Vamos simplificar cada termo:
E:
Passo 6
Somando os dois termos:
Quando
tende a menos infinito,
tende a 0, então:
Passo 7
Agora, voltamos para
:
Portanto, o limite é
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine:
Dê um exemplo de uma sequência
divergente tal que a sequência
seja convergente.
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Verifique se a sequência é convergente ou divergente, se for convergente encontre o limite
(d)
(d)