Determine: lim x -infty(x1+x)^x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar o limite quando tende a menos infinito de . Vamos usar conceitos de limites e logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a expressão original de y = (x1+x)^x :
ln(y) = x cdot ln(x1+x)
Para facilitar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende a menos infinito.

Passo 3

Vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
x1+x = xx + 1 = 11 + 1x
Quando x1+x approx 11 + 0 = 1 tende a menos infinito, tende a 0, então:
Mas precisamos de uma aproximação mais precisa para o logaritmo.

Passo 4

Usando a expansão de Taylor para ln(1 + z) approx z - z^22 quando x1+x = 1 - 11+x é pequeno:
ln(x1+x) = ln(1 - 11+x) approx -11+x - 12(1+x)^2
Vamos reescrever como:
Então:

Passo 5

Multiplicando pelo x cdot ln(x1+x) approx x ( -11+x - 12(1+x)^2 ) :
-x1+x = -xx + 1 = -11 + 1x approx -1 + 1x
Vamos simplificar cada termo:
-x2(1+x)^2 = -x2x^2(1 + 1x)^2 approx -12x
E:

Passo 6

Somando os dois termos:
x cdot ln(x1+x) approx (-1 + 1x) + (-12x) = -1 + 12x
Quando ln(y) approx -1 tende a menos infinito, tende a 0, então:

Passo 7

Agora, voltamos para ln(y) approx -1 Rightarrow y approx e^-1 :
Portanto, o limite é .

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine: lim x -infty raizx^2-x+2 x
Dê um exemplo de uma sequência x_n divergente tal que a sequência |xn| seja convergente.
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é:
(a) y = c1 * e^(-3 * t) + c2 * e^(5 * t)
(b) y = c1 e^(-2 t) + c2 t e^(-2 t)
© y = c1 cos(3t) + c2 sen(3t)
Verifique se a sequência é convergente ou divergente, se for convergente encontre o limite
(d) (n^2 + 1) / (3 n^2)