Dê um exemplo de uma sequência x_n divergente tal que a sequência |xn| seja convergente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um exemplo de uma sequência que não converge (ou seja, é divergente), mas que, ao tomar o valor absoluto de cada termo dessa sequência, obtemos uma nova sequência que converge. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de sequência convergente e divergente, além de como o valor absoluto afeta os termos da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência convergente. Uma sequência converge para um limite se, conforme cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de . Se não existe tal , dizemos que a sequência é divergente.

Passo 3

Agora, vamos pensar no valor absoluto. O valor absoluto de um número é sempre não negativo e representa a distância de até zero na reta numérica. Ao aplicar o valor absoluto a cada termo da sequência , estamos essencialmente “espelhando” os termos negativos para o lado positivo.

Passo 4

Para que a sequ��ncia seja divergente, precisamos que ela não se aproxime de um único valor à medida que aumenta. Uma maneira de fazer isso é criar uma sequência que oscila sem se estabilizar. Por exemplo, podemos alternar os termos entre valores positivos e negativos que se aproximam de um certo limite em valor absoluto.

Passo 5

Vamos construir um exemplo específico. Considere a sequência definida por:
Aqui, faz com que os termos alternem entre positivo e negativo, e faz com que o valor absoluto dos termos se aproxime de 1 conforme aumenta.

Passo 6

Vamos verificar a convergência da sequência :
Como alterna entre -1 e 1 e tende a 1, a sequência não converge para nenhum limite específico. Portanto, é divergente.

Passo 7

Agora, vamos analisar a sequência dos valores absolutos :
À medida que tende ao infinito, tende a 0, então:
Portanto, a sequência converge para 1.

Resposta

Um exemplo é a sequência , que diverge, mas a sequência dos valores absolutos converge para 1.

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