Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é:
(a) y = c1 * e^(-3 * t) + c2 * e^(5 * t)
(b) y = c1 e^(-2 t) + c2 t e^(-2 t)
© y = c1 cos(3t) + c2 sen(3t)

Passo 1

Beleza, a primeira parte da questão pede para a gente encontrar uma equação diferencial cuja solução geral é . Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da solução geral. Temos dois exponenciais: e . Esses termos vêm de raízes distintas da equação característica associada à equação diferencial.

Passo 3

Vamos formar a equação característica baseada nas raízes dos exponenciais. As raízes aqui são e . A equação característica fica:
Multiplicando, temos:

Passo 4

Agora, traduzimos a equação característica para a equação diferencial correspondente. A forma geral para segunda ordem é:
Comparando com a equação característica , vemos que e . Então, a equação diferencial é:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte da questão: encontrar a equação diferencial cuja solução geral é . Aqui, notamos que as soluções envolvem um termo exponencial e um termo exponencial multiplicado por , indicando raízes repetidas na equação característica.

Passo 6

Identificamos que tanto quanto vêm da mesma raiz com multiplicidade 2. Isso significa que a equação característica tem uma raiz duplamente repetida.

Passo 7

A equação característica com raiz repetida é:
Expandindo, temos:

Passo 8

Transcrevemos isso para a equação diferencial de segunda ordem:

Passo 9

Finalmente, vamos resolver a terceira parte: encontrar a equação diferencial cuja solução geral é . Isso indica que a solução envolve funções trigonométricas, sugerindo que a equação diferencial tem coeficientes que levam a raízes complexas.

Passo 10

Sabemos que soluções da forma e vêm de ra��zes complexas da equação característica . No nosso caso, .

Passo 11

A equação característica com raízes é:

Passo 12

Convertendo para a equação diferencial, temos:

Resposta

A equação diferencial é .

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