Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, a primeira parte da questão pede para a gente encontrar uma equação diferencial cuja solução geral é
. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da solução geral. Temos dois exponenciais:
e
. Esses termos vêm de raízes distintas da equação característica associada à equação diferencial.
Passo 3
Vamos formar a equação característica baseada nas raízes dos exponenciais. As raízes aqui são
e
. A equação característica fica:
Multiplicando, temos:
Passo 4
Agora, traduzimos a equação característica para a equação diferencial correspondente. A forma geral para segunda ordem é:
Comparando com a equação característica
, vemos que
e
. Então, a equação diferencial é:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte da questão: encontrar a equação diferencial cuja solução geral é
. Aqui, notamos que as soluções envolvem um termo exponencial e um termo exponencial multiplicado por
, indicando raízes repetidas na equação característica.
Passo 6
Identificamos que tanto
quanto
vêm da mesma raiz
com multiplicidade 2. Isso significa que a equação característica tem uma raiz duplamente repetida.
Passo 7
A equação característica com raiz repetida
é:
Expandindo, temos:
Passo 8
Transcrevemos isso para a equação diferencial de segunda ordem:
Passo 9
Finalmente, vamos resolver a terceira parte: encontrar a equação diferencial cuja solução geral é . Isso indica que a solução envolve funções trigonométricas, sugerindo que a equação diferencial tem coeficientes que levam a raízes complexas.
Passo 10
Sabemos que soluções da forma
e vêm de ra��zes complexas da equação característica
. No nosso caso,
.
Passo 11
A equação característica com raízes
é:
Passo 12
Convertendo para a equação diferencial, temos:
Resposta
A equação diferencial é
.