Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o limite quando
se aproxima de 1 da seguinte expressão:
Matéria envolvida: Cálculo de limites, integrais definidas e talvez a Regra de L’Hôpital. Vamos precisar entender como manipular integrais e calcular limites que envolvem funções definidas por integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 1. Tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, porque as integrais de 1 para 1 são 0 e
. Isso nos dá uma indeterminação do tipo
, indicando que podemos usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Antes de aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos derivar o numerador e o denominador em relação a
.
Derivada do denominador:
Derivada do numerador:
O numerador é uma integral dupla. Para derivar, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
O numerador é uma integral dupla. Para derivar, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, temos que o limite original é igual ao limite das derivadas:
Novamente, quando
se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador vão para 0. Então, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador.
Derivada do denominador:
Derivada do numerador:
Passo 6
Agora, o limite fica:
Passo 7
Agora, substituímos
por 1:
Resposta
O limite é igual a
.
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Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
b)
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a)
a)
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
a)
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c)
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