Determine lim x 1 integral1^x[integral1^t^2 tg(u)4+u^2 d u] d t(x-1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o limite quando lim x 1 integral1^x[integral1^t^2 tan(u)4+u^2 , du] , dt(x-1)^2 se aproxima de 1 da seguinte expressão:
Matéria envolvida: Cálculo de limites, integrais definidas e talvez a Regra de L’Hôpital. Vamos precisar entender como manipular integrais e calcular limites que envolvem funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 1. Tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, porque as integrais de 1 para 1 são 0 e . Isso nos dá uma indeterminação do tipo , indicando que podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Antes de aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx (x - 1)^2 = 2(x - 1) .
Derivada do denominador:
ddx integral1^x[integral1^t^2 tan(u)4+u^2 , du] , dt = integral1^x^2 tan(u)4+u^2 , du
Derivada do numerador:
O numerador é uma integral dupla. Para derivar, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, temos que o limite original é igual ao limite das derivadas:
lim x 1 integral1^x^2 tan(u)4+u^2 , du2(x - 1)
Novamente, quando se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador vão para 0. Então, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador.
Derivada do denominador:
ddx [2(x - 1)] = 2
Derivada do numerador:
ddx integral1^x^2 tan(u)4+u^2 , du = tan(x^2)4 + (x^2)^2 cdot 2x

Passo 6

Agora, o limite fica:
lim x 1 tan(x^2)4 + x^4 cdot 2x2 = lim x 1 tan(x^2) cdot x4 + x^4

Passo 7

Agora, substituímos tan(1^2) cdot 14 + 1^4 = tan(1)5 por 1:

Resposta

O limite é igual a .

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