Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o limite quando se aproxima de 1 da seguinte expressão:
Matéria envolvida: Cálculo de limites, integrais definidas e talvez a Regra de L’Hôpital. Vamos precisar entender como manipular integrais e calcular limites que envolvem funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 1. Tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, porque as integrais de 1 para 1 são 0 e . Isso nos dá uma indeterminação do tipo , indicando que podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Antes de aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos derivar o numerador e o denominador em relação a .
Derivada do denominador:
Derivada do numerador:
O numerador é uma integral dupla. Para derivar, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, temos que o limite original é igual ao limite das derivadas:
Novamente, quando se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador vão para 0. Então, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador.
Derivada do denominador:
Derivada do numerador:

Passo 6

Agora, o limite fica:

Passo 7

Agora, substituímos por 1:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
b)
Calcule as derivadas das funções abaixo:
a)
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
a)
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
c)