Determine: lim x raiz2+ raizx^2-2x-raiz2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício quer! Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de pela direita. Para isso, vamos usar conceitos de limites e manipulação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz(raiz2)^2-2raiz2-raiz2 = raiz2-20 = 00 por na expressão para ver o que acontece:
Apareceu uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador x^2 - 2 = (x - raiz2)(x + raiz2) . Podemos fatorar raiz(x - raiz2)(x + raiz2)x - raiz2 como uma diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Podemos separar a raiz quadrada em duas partes:
raizx - raiz2 cdot raizx + raiz2x - raiz2 = raizx + raiz2raizx - raiz2
Isso simplifica a expressão para:
raizx + raiz2raizx - raiz2

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando constantenúmero muito pequeno positivo to +infty se aproxima de pela direita ( ):
  • tende para , que é um número constante.
  • tende para , ou seja, muito próximo de zero positivo.
Então, a expressão fica:
ú

Resposta

O limite é infinito positivo:
lim x raiz2+ raizx^2-2x-raiz2 = +infty

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