3^a Questão:

(b) Sejam p(x) em R[x], com gr(p(x)) = 4 e X = {α, β, γ, δ} seu conjunto de raízes . Se α = 1 + i e beta = 2 - 3i, calcule P = alpha beta gamma delta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um polinômio de grau 4 com coeficientes reais, ou seja, . As raízes desse polinômio são , , e . Queremos calcular o produto dessas raízes, .

Passo 2

Como o polinômio tem coeficientes reais e uma raiz complexa , sua conjugada também deve ser uma raiz do polinômio. Da mesma forma, para a raiz , a conjugada também é uma raiz. Portanto, podemos identificar:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto . Podemos agrupar os termos de forma a facilitar a multiplicação:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, :
Agora, :

Passo 5

Finalmente, multiplicamos os resultados obtidos:

Resposta

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