Mostre a convergência e calcule o limite da sequência x_n, se x1 = raiz(a), x2 = raiz(a + raiz(a)), ..., xn = raiz(a + raiz(a + raiz(a + ...)) ) (n raízes), onde a > 0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
e assim por diante, até
í
onde . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela se aproxima de um valor fixo à medida que cresce, e descobrir qual é esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que uma sequência converge. Uma sequência converge para um limite se, conforme aumenta, os termos se aproximam cada vez mais de .

Passo 3

Para encontrar o limite da sequência , assumimos que, quando é muito grande, e são praticamente iguais, ambos próximos de . Assim, podemos escrever a relação:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

Passo 5

Em seguida, reorganizamos a equação para formar uma equação quadrática:

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Como e representa um limite de uma sequência de números reais positivos, descartamos a solução negativa. Portanto, temos:

Passo 8

Finalmente, concluímos que a sequência converge e seu limite é:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados