Mostre a convergência e calcule o limite da sequência
, se
(n raízes), onde
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
e assim por diante, até
onde
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela se aproxima de um valor fixo à medida que
cresce, e descobrir qual é esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que uma sequência converge. Uma sequência
converge para um limite
se, conforme
aumenta, os termos
se aproximam cada vez mais de
.
Passo 3
Para encontrar o limite
da sequência
, assumimos que, quando
é muito grande,
e
são praticamente iguais, ambos próximos de
. Assim, podemos escrever a relação:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 5
Em seguida, reorganizamos a equação para formar uma equação quadrática:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Como
e
representa um limite de uma sequência de números reais positivos, descartamos a solução negativa. Portanto, temos:
Passo 8
Finalmente, concluímos que a sequência
converge e seu limite é:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.