Determine:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 4 da função . Isso está dentro do tópico de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando a gente tem uma indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver o que acontece:
Como deu , isso é uma indeterminação, o que significa que precisamos de outra técnica para resolver, como a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que, se o limite resulta em ou , a gente pode derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Vamos aplicar isso aqui.
Primeiro, vamos derivar o numerador .
A derivada de é:
A derivada de -2 é 0. Então, a derivada do numerador é .
Agora, vamos derivar o denominador :

Passo 4

Agora, aplicando a regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no lugar do limite original:
Simplificamos os que se cancelam.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite substituindo :
Sabemos que , então .
Portanto,

Resposta

O limite é .

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