Determine: lim x 4 raiz[3]x^2-8-2x^2-16

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 4 da função . Isso está dentro do tópico de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando a gente tem uma indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz[3]4^2-8-24^2-16 = raiz[3]16-8-216-16 = raiz[3]8-20 = 2-20 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Como deu , isso é uma indeterminação, o que significa que precisamos de outra técnica para resolver, como a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que, se o limite resulta em ddx ( (x^2-8)^13 ) = 13(x^2-8)^-23 cdot 2x = 2x3(x^2-8)^23 ou ddx (x^2-16) = 2x , a gente pode derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Vamos aplicar isso aqui.
Primeiro, vamos derivar o numerador .
A derivada de é:
A derivada de -2 é 0. Então, a derivada do numerador é .
Agora, vamos derivar o denominador :

Passo 4

Agora, aplicando a regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no lugar do limite original:
limx 4 2x3(x^2-8)^232x = limx 4 2x3(x^2-8)^23 cdot 12x = limx 4 13(x^2-8)^23
Simplificamos os que se cancelam.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite substituindo 13(4^2-8)^23 = 13(16-8)^23 = 13(8)^23 :
13 cdot 4 = 112
Sabemos que , então .
Portanto,

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados