Resolva as integrais usando substituição trigonométrica: integral d xx^2 raiz1+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas e entender como fazer a substituição certa para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observando x = tan theta , podemos notar que se dx = sec^2 theta , dtheta , então raiz1 + x^2 = raiz1 + tan^2 theta = sec theta . Então, vamos definir:
Isso significa que:
E a raiz fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral dxx^2 raiz1+x^2 = integral sec^2 theta , dthetatan^2 theta cdot sec theta = integral sec thetatan^2 theta , dtheta
Lembrando que e , podemos simplificar ainda mais.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de senos e cossenos:
integral sec thetatan^2 theta , dtheta = integral 1cos theta(sin thetacos theta)^2 , dtheta = integral 1cos thetasin^2 thetacos^2 theta , dtheta = integral cos thetasin^2 theta , dtheta
Agora, vamos simplificar isso usando substituição simples. Vamos definir , então .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral cos thetasin^2 theta , dtheta = integral 1u^2 , du = integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1sin theta + C
Agora, precisamos voltar para a variável original sin theta = xraiz1 + x^2 . Sabemos que -1sin theta = -raiz1 + x^2x , então:
Portanto:

Resposta

A integral é igual a:
-raiz1 + x^2x + C

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