Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas e entender como fazer a substituição certa para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observando , podemos notar que se , então . Então, vamos definir:
Isso significa que:
E a raiz fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Lembrando que e , podemos simplificar ainda mais.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de senos e cossenos:
Agora, vamos simplificar isso usando substituição simples. Vamos definir , então .

Passo 5

Substituindo na integral:
Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então:
Portanto:

Resposta

A integral é igual a:

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Determine:
Se é o potencial elétrico em um ponto no plano , então as curvas de nível de são chamadas curvas equipotenciais, porque em todos os pontos dessa curva o potencial elétrico é o mesmo. Esboce algumas curvas equipotenciais de , onde é uma constante positiva.
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
Resolva as integrais usando a substituição de variável: