Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas e entender como fazer a substituição certa para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observando
, podemos notar que se
, então
. Então, vamos definir:
Isso significa que:
E a raiz fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Lembrando que
e
, podemos simplificar ainda mais.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em termos de senos e cossenos:
Agora, vamos simplificar isso usando substituição simples. Vamos definir
, então
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então:
Portanto:
Resposta
A integral é igual a:
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Determine:
Se
é o potencial elétrico em um ponto
no plano
, então as curvas de nível de
são chamadas curvas equipotenciais, porque em todos os pontos dessa curva o potencial elétrico é o mesmo. Esboce algumas curvas equipotenciais de
, onde
é uma constante positiva.
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
Resolva as integrais usando a substituição de variável: