Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral
. Isso envolve cálculo integral e, mais especificamente, substituição trigonométrica. Pra resolver, vamos precisar identificar uma boa substituição trigonométrica que simplifique a expressão dentro da raiz e facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz:
. Podemos completar o quadrado para simplificar isso. Completar o quadrado ajuda a deixar a expressão no formato que a substituição trigonométrica reconhece facilmente.
Completemos o quadrado:
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos deixar
. Assim,
. Substituindo na integral:
Agora, a integral está em termos de
. O próximo passo é usar a substituição trigonométrica adequada para
.
Passo 4
Observamos que
se parece com a identidade trigonométrica
. Então, vamos usar a substituição trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão:
Sabemos que
e
. Então:
Então, a integral fica:
Essa expressão pode ser simplificada fazendo uma substituição adicional. Vamos deixar
, então
.
Substituindo:
Passo 6
Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que fizemos
e
. Primeiro, expressamos
em termos de
:
Sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, a integral resolvida é:
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Determine:
Resolva as integrais usando a substituição de variável:
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