Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral . Isso envolve cálculo integral e, mais especificamente, substituição trigonométrica. Pra resolver, vamos precisar identificar uma boa substituição trigonométrica que simplifique a expressão dentro da raiz e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz: . Podemos completar o quadrado para simplificar isso. Completar o quadrado ajuda a deixar a expressão no formato que a substituição trigonométrica reconhece facilmente.
Completemos o quadrado:
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos deixar . Assim, . Substituindo na integral:
Agora, a integral está em termos de . O próximo passo é usar a substituição trigonométrica adequada para .

Passo 4

Observamos que se parece com a identidade trigonométrica . Então, vamos usar a substituição trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão:
Sabemos que e . Então:
Então, a integral fica:
Essa expressão pode ser simplificada fazendo uma substituição adicional. Vamos deixar , então .
Substituindo:

Passo 6

Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que fizemos e . Primeiro, expressamos em termos de :
Sabemos que , então:
Substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:

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