Resolva as integrais usando substituição trigonométrica: integral d x(x+1)^2 raizx^2+2 x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral . Isso envolve cálculo integral e, mais especificamente, substituição trigonométrica. Pra resolver, vamos precisar identificar uma boa substituição trigonométrica que simplifique a expressão dentro da raiz e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz: x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 . Podemos completar o quadrado para simplificar isso. Completar o quadrado ajuda a deixar a expressão no formato que a substituição trigonométrica reconhece facilmente.
Completemos o quadrado:
integral dx(x+1)^2 raiz(x+1)^2 + 1
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos deixar integral duu^2 raizu^2 + 1 . Assim, . Substituindo na integral:
Agora, a integral está em termos de . O próximo passo é usar a substituição trigonométrica adequada para .

Passo 4

Observamos que u = tantheta Rightarrow du = sec^2theta , dtheta se parece com a identidade trigonométrica integral sec^2theta , dthetatan^2theta cdot sectheta = integral secthetatan^2theta , dtheta . Então, vamos usar a substituição trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão:
Sabemos que secthetatan^2theta = 1costheta(sinthetacostheta)^2 = 1costheta cdot cos^2thetasin^2theta = costhetasin^2theta e integral costhetasin^2theta , dtheta = integral costhetasin^2theta , dtheta . Então:
integral dvv^2 = -1v + C = -1sintheta + C
Então, a integral fica:
Essa expressão pode ser simplificada fazendo uma substituição adicional. Vamos deixar , então .
Substituindo:

Passo 6

Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que fizemos sintheta = uraizu^2 + 1 = x + 1raiz(x + 1)^2 + 1 = x + 1raizx^2 + 2x + 2 e -1sintheta = -raizx^2 + 2x + 2x + 1 . Primeiro, expressamos em termos de :
Sabemos que , então:
Substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
-raizx^2 + 2x + 2x + 1 + C

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