Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse problema envolve funções exponenciais e limites, especialmente quando temos uma forma que pode ser uma indeterminação. Pra resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites de funções exponenciais e usar algumas propriedades de logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, observe que quando
se aproxima de
,
se aproxima de
. Então, a expressão
está parecendo algo como
elevado a um valor que tende ao infinito, já que
quando
está perto de
. Isso nos dá uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos usar logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos chamar o limite que queremos encontrar de
:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados, temos:
Agora, nossa tarefa é encontrar esse limite do logaritmo, e depois aplicar a exponencial para encontrar
.
Passo 4
Sabemos que para
próximo de
, podemos aproximar
pela série de Taylor:
E também sabemos que
quando
se aproxima de
. Substituindo essas aproximações na expressão do logaritmo:
Passo 5
Agora que encontramos
, para achar
, basta aplicar a função exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite é
.