Determine lim x 0^+(x+1)^cotg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0^+(x+1)^cotg(x). Esse problema envolve funções exponenciais e limites, especialmente quando temos uma forma que pode ser uma indeterminação. Pra resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites de funções exponenciais e usar algumas propriedades de logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observe que quando x se aproxima de 0, x+1 se aproxima de 1. Então, a expressão (x+1)^cotg(x) está parecendo algo como 1 elevado a um valor que tende ao infinito, já que cotg(x) = cos(x)sin(x) approx 1x quando x está perto de 0. Isso nos dá uma forma do tipo 1^infty, que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos usar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos chamar o limite que queremos encontrar de L:
L = limx 0^+(x+1)^cotg(x)
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados, temos:
ln(L) = limx 0^+ cotg(x) cdot ln(x+1)
Agora, nossa tarefa é encontrar esse limite do logaritmo, e depois aplicar a exponencial para encontrar L.

Passo 4

Sabemos que para x próximo de 0, podemos aproximar ln(x+1) pela série de Taylor:
ln(x+1) approx x - x^22 + dots
E também sabemos que cotg(x) = cos(x)sin(x) approx 1x quando x se aproxima de 0. Substituindo essas aproximações na expressão do logaritmo:
ln(L) approx limx 0^+ 1x cdot (x - x^22) = limx 0^+ (1 - x2) = 1

Passo 5

Agora que encontramos ln(L) = 1, para achar L, basta aplicar a função exponencial dos dois lados:
L = e^ln(L) = e^1 = e

Resposta

O limite é e.

Exercícios relacionados