Determine: lim x 0 (5)^x+2-25x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Então, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com potências e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 25 cdot 5^x - 25x . Sabemos que . Assim, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, podemos fatorar o 25 do numerador:
25(5^x - 1)x
Então, temos:
25 cdot 5^x - 1x

Passo 4

O próximo passo é lembrar de um limite importante que envolve uma função exponencial. Sabemos que:
limx to 0 a^x - 1x = ln(a)
No nosso caso, limx to 0 5^x - 1x = ln(5) . Portanto:

Passo 5

Aplicando esse resultado ao nosso caso, temos:
25 cdot limx to 0 5^x - 1x = 25 cdot ln(5)

Resposta

Portanto, o limite é .

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