Sabe-se que em uma sequência de números reais o primeiro termo é igual a 1 e a razão entre dois termos consecutivos é constante e igual a .
© Calcule os limites de cada subsequência e compare com o limite da sequência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma sequência de números reais onde o primeiro termo é 1 e a razão entre dois termos consecutivos é sempre constante, igual a . Isso nos leva a pensar em uma sequência geométrica, que é o conteúdo que vamos usar aqui. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o limite de sequências e subsequências.

Passo 2

Primeiro, identificamos a sequência dada. Como o primeiro termo e a razão , a sequência é geométrica e pode ser escrita assim:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de como calcular o limite de uma sequência geométrica. Se a razão , a sequência tende a zero. No nosso caso, , que é menor que 1 em módulo, então o limite da sequência principal é:

Passo 4

Vamos agora olhar para as subsequências. Uma subsequência é simplesmente pegar alguns termos da sequência principal seguindo uma certa regra. Um jeito comum de fazer isso é separar os termos pares e ímpares.
Subsequência dos termos pares:
Subsequência dos termos ímpares:

Passo 5

Vamos calcular o limite de cada subsequência.
Para a subsequência dos termos pares:
Para a subsequência dos termos ímpares:

Resposta

Tanto a sequência principal quanto todas as suas subsequências (dos termos pares e ímpares) têm limite igual a zero.

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Determine:
Fixado um número , prove que a sequência converge, se e somente se, a sequência converge.
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(a) Demonstre usando indução que ;
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