Sabe-se que em uma sequência de números reais o primeiro termo é igual a 1 e a razão entre dois termos consecutivos é constante e igual a
.
© Calcule os limites de cada subsequência e compare com o limite da sequência.
© Calcule os limites de cada subsequência e compare com o limite da sequência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma sequência de números reais onde o primeiro termo é 1 e a razão entre dois termos consecutivos é sempre constante, igual a
. Isso nos leva a pensar em uma sequência geométrica, que é o conteúdo que vamos usar aqui. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o limite de sequências e subsequências.
Passo 2
Primeiro, identificamos a sequência dada. Como o primeiro termo
e a razão
, a sequência é geométrica e pode ser escrita assim:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de como calcular o limite de uma sequência geométrica. Se a razão
, a sequência tende a zero. No nosso caso,
, que é menor que 1 em módulo, então o limite da sequência principal é:
Passo 4
Vamos agora olhar para as subsequências. Uma subsequência é simplesmente pegar alguns termos da sequência principal seguindo uma certa regra. Um jeito comum de fazer isso é separar os termos pares e ímpares.
Subsequência dos termos pares:
Subsequência dos termos ímpares:
Passo 5
Vamos calcular o limite de cada subsequência.
Para a subsequência dos termos pares:
Para a subsequência dos termos ímpares:
Resposta
Tanto a sequência principal quanto todas as suas subsequências (dos termos pares e ímpares) têm limite igual a zero.
Exercícios relacionados
Determine:
Fixado um número
, prove que a sequência
converge, se e somente se, a sequência
converge.
Seja
uma sequência definida pela seguinte recorrência:
(a) Demonstre usando indução que
;
Seja
uma função tal que
. Esboce um possível gráfico de
, supondo que ele não intercepte uma assíntota horizontal.