Fixado um número m em N, prove que a sequência {x_n+m} converge, se e somente se, a sequência {xn} converge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar que, dado um número natural fixo , a sequência converge se e somente se a sequência original converge. Vamos usar conceitos de limites de sequências para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência converge para um limite se, à medida que cresce, os termos ficam cada vez mais próximos de . Formalmente, para todo , existe um número natural tal que para todo , .

Passo 3

Agora, vamos provar a primeira parte: Se converge, então também converge. Suponha que converge para . Queremos mostrar que também converge para .

Passo 4

Como converge para , para qualquer , existe um tal que para todo , . Agora, considerando , quando , também . Definindo , temos que para todo , . Portanto, converge para .

Passo 5

Agora, vamos provar a outra direção: Se converge, então também converge. Suponha que converge para . Precisamos mostrar que também converge para .

Passo 6

Se converge para , então para qualquer , existe um tal que para todo , . Agora, para a sequência , qualquer termo com pode ser escrito como , ou seja, pertence à sequência com . Assim, podemos ajustar para garantir que para todo , comprovando que converge para .

Resposta

Portanto, demonstramos que a sequência converge se e somente se a sequência converge.

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