Fixado um número
, prove que a sequência
converge, se e somente se, a sequência
converge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar que, dado um número natural fixo
, a sequência
converge se e somente se a sequência original
converge. Vamos usar conceitos de limites de sequências para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
cresce, os termos
ficam cada vez mais próximos de
. Formalmente, para todo
, existe um número natural
tal que para todo
,
.
Passo 3
Agora, vamos provar a primeira parte: Se
converge, então
também converge. Suponha que
converge para
. Queremos mostrar que
também converge para
.
Passo 4
Como
converge para
, para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
. Agora, considerando
, quando
, também
. Definindo
, temos que para todo
,
. Portanto,
converge para
.
Passo 5
Agora, vamos provar a outra direção: Se
converge, então
também converge. Suponha que
converge para
. Precisamos mostrar que
também converge para
.
Passo 6
Se
converge para
, então para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
. Agora, para a sequência
, qualquer termo
com
pode ser escrito como
, ou seja, pertence à sequência
com
. Assim, podemos ajustar
para garantir que
para todo
, comprovando que
converge para
.
Resposta
Portanto, demonstramos que a sequência
converge se e somente se a sequência
converge.