Seja {xn} uma sequência definida pela seguinte recorrência:
{x1=1 \\ x(n+1)=1/4(2xn+3) para todo n ≥ 1}
(a) Demonstre usando indução que x_n < 2 para todo n em N;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recorrente, ou seja, cada termo depende do termo anterior. A sequência começa com e segue a regra para todo . O que precisamos mostrar é, usando indução matemática, que todos os termos dessa sequência são menores que 2. Para isso, vamos precisar entender como funciona a prova por indução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a prova por indução. Ela tem dois passos principais:
  1. Base da Indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente .
  2. Passo Indutivo: Suponhamos que a afirmação seja verdadeira para algum qualquer, e então mostrar que ela também é verdadeira para .
Vamos começar com a base da indução.

Passo 3

Base da Indução: Verificar se .
Sabemos que . Claramente, . Então, a base da indução está confirmada.

Passo 4

Agora, vamos para o passo indutivo. Aqui, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja, vamos supor que . Com essa suposição, precisamos provar que .

Passo 5

Sabemos que . Vamos substituir pelo limite superior que assumimos, que é 2.
Então:
Como , mostramos que se , então .

Passo 6

Como ambos os passos da indução estão satisfeitos — a base da indução é verdadeira e o passo indutivo também — podemos concluir, pela princípio da indução matemática, que para todo .

Resposta

Portanto, demonstramos que para todo natural.

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