Seja
uma sequência definida pela seguinte recorrência:
(a) Demonstre usando indução que
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recorrente, ou seja, cada termo depende do termo anterior. A sequência começa com
e segue a regra
para todo
. O que precisamos mostrar é, usando indução matemática, que todos os termos dessa sequência são menores que 2. Para isso, vamos precisar entender como funciona a prova por indução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a prova por indução. Ela tem dois passos principais:
- Base da Indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente
. - Passo Indutivo: Suponhamos que a afirmação seja verdadeira para algum
qualquer, e então mostrar que ela também é verdadeira para .
Vamos começar com a base da indução.
Passo 3
Base da Indução: Verificar se
.
Sabemos que
. Claramente,
. Então, a base da indução está confirmada.
Passo 4
Agora, vamos para o passo indutivo. Aqui, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
, ou seja, vamos supor que
. Com essa suposição, precisamos provar que
.
Passo 5
Sabemos que
. Vamos substituir
pelo limite superior que assumimos, que é 2.
Então:
Como
, mostramos que se
, então
.
Passo 6
Como ambos os passos da indução estão satisfeitos — a base da indução é verdadeira e o passo indutivo também — podemos concluir, pela princípio da indução matemática, que
para todo
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
para todo
natural.