m preceq n <=> m | n
isto é, existe um número natural não nulo k tal que n = m * k. Mostre que essa é uma relação de ordem em N.

Passo 1

Vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a relação de divisibilidade, ou seja, quando um número divide outro, estabelece uma ordem nos números naturais. Isso envolve entender o que é uma relação de ordem e como a divisibilidade se encaixa nela. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de reflexividade, antissimetria e transitividade, que são as propriedades fundamentais de uma relação de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre reflexividade. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, queremos ver se cada número natural divide a si próprio.
Por exemplo, para qualquer número natural m, será que m divide m? Claro! Porque . Aqui, , que é um número natural não nulo. Então, sempre é verdadeiro.

Passo 3

Agora, vamos para a antissimetria. Uma relação é antissimétrica se, quando um número divide outro e vice-versa, então os dois números são iguais.
Então, suponha que temos dois números naturais m e n tal que e . Isso significa que existem números naturais e onde:
Substituindo a segunda equação na primeira:
Para que isso seja verdadeiro, deve ser igual a 1. Como estamos lidando com números naturais, a única possibilidade é que e . Assim, . Portanto, se e , então .

Passo 4

Por último, vamos verificar a transitividade. Uma relação é transitiva se, quando um número divide um segundo, e esse segundo divide um terceiro, então o primeiro divide o terceiro.
Ou seja, se e , queremos mostrar que . Sabemos que:
Substituindo a primeira equação na segunda:
Como é um número natural, isso mostra que .

Resposta

Então, verificamos que a relação de divisibilidade nos números naturais é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Portanto, essa relação define uma ordem em N.

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