isto é, existe um número natural não nulo
tal que
. Mostre que essa é uma relação de ordem
.
Passo 1
Vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a relação de divisibilidade, ou seja, quando um número divide outro, estabelece uma ordem nos números naturais. Isso envolve entender o que é uma relação de ordem e como a divisibilidade se encaixa nela. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de reflexividade, antissimetria e transitividade, que são as propriedades fundamentais de uma relação de ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre reflexividade. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, queremos ver se cada número natural divide a si próprio.
Por exemplo, para qualquer número natural
, será que
divide
? Claro! Porque
. Aqui,
, que é um número natural não nulo. Então,
sempre é verdadeiro.
Passo 3
Agora, vamos para a antissimetria. Uma relação é antissimétrica se, quando um número divide outro e vice-versa, então os dois números são iguais.
Então, suponha que temos dois números naturais
e
tal que
e
. Isso significa que existem números naturais
e
onde:
Substituindo a segunda equação na primeira:
Para que isso seja verdadeiro,
deve ser igual a 1. Como estamos lidando com números naturais, a única possibilidade é que
e
. Assim,
. Portanto, se
e
, então
.
Passo 4
Por último, vamos verificar a transitividade. Uma relação é transitiva se, quando um número divide um segundo, e esse segundo divide um terceiro, então o primeiro divide o terceiro.
Ou seja, se
e
, queremos mostrar que
. Sabemos que:
Substituindo a primeira equação na segunda:
Como
é um número natural, isso mostra que
.
Resposta
Então, verificamos que a relação de divisibilidade nos números naturais é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Portanto, essa relação define uma ordem em
.
Exercícios relacionados
Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.
Considere o conjunto
e a relação em
dada por
; Determine os elementos que são e que não são relacionados com o elemento 2;
Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.
f)