Uma tira elástica é presa a um gancho e uma massa é presa na ponta inferior da tira. Quando o corpo é puxado para baixo e então solto, ele vibra verticalmente. A equação do movimento é s = 2 cos(t) + 3 sen(t), t ≥ 0, onde s é medido em centímetros e t, em segundos. (Consideremos o sentido positivo como para baixo.)
(a) Encontre a velocidade e a aceleração no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma tira elástica presa a um gancho com uma massa na ponta, que vibra verticalmente. A equação do movimento é , onde é a posição em centímetros e é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade e a aceleração da massa em um instante específico de tempo . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para relacionar posição, velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo representa:
  • Posição ( ): Indica onde a massa está em relação ao ponto de equilíbrio.
  • Velocidade ( ): É a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
  • Aceleração ( ): É a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.
Para encontrar a velocidade e a aceleração, precisamos derivar a função da posição em relação ao tempo.

Passo 3

Velocidade ( ):
A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Diferenciando :
Portanto:

Passo 4

Aceleração ( ):
A aceleração é a segunda derivada da posição, ou seja, a primeira derivada da velocidade. Então:
Diferenciando :
Portanto:

Resposta

A velocidade no instante é cm/s e a aceleração é cm/s².

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