Uma tira elástica é presa a um gancho e uma massa é presa na ponta inferior da tira. Quando o corpo é puxado para baixo e então solto, ele vibra verticalmente. A equação do movimento é
, onde
é medido em centímetros e
, em segundos. (Consideremos o sentido positivo como para baixo.)
(a) Encontre a velocidade e a aceleração no instante
.
(a) Encontre a velocidade e a aceleração no instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma tira elástica presa a um gancho com uma massa na ponta, que vibra verticalmente. A equação do movimento é , onde
é a posição em centímetros e
é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade e a aceleração da massa em um instante específico de tempo
. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para relacionar posição, velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo representa:
- Posição (
): Indica onde a massa está em relação ao ponto de equilíbrio. - Velocidade (
): É a taxa de variação da posição em relação ao tempo. - Aceleração (
): É a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.
Para encontrar a velocidade e a aceleração, precisamos derivar a função da posição em relação ao tempo.
Passo 3
Velocidade (
):
A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Diferenciando :
Portanto:
Passo 4
Aceleração (
):
A aceleração é a segunda derivada da posição, ou seja, a primeira derivada da velocidade. Então:
Diferenciando :
Portanto:
Resposta
A velocidade no instante
é cm/s e a aceleração é cm/s².
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Os valores abaixo representam a relação entre a quantidade de horas de estudo e a nota obtida por um grupo de alunos em uma prova:
. Determine a reta
que melhor ajusta os dados.
Determine um limitante superior para o valor absoluto das integrais ao longo dos contornos especificados
, onde
é o segmento de reta de
a
Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
a) .
a)
Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
f) e
.
f)