Determine um limitante superior para o valor absoluto das integrais ao longo dos contornos especificados , onde é a circunferência

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um limite superior para o valor absoluto de uma integral ao longo de um contorno específico. Estamos lidando com análise complexa, especificamente com integrais de funções complexas ao longo de curvas no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada Estimativa de M (Inequality de ML), que nos ajuda a encontrar um limite para o valor absoluto de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a circunferência pela qual vamos integrar. A circunferência dada é , ou seja, todos os pontos no plano complexo que estão a 6 unidades de distância da origem.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que está sendo integrada: . Nosso objetivo é encontrar um limite superior para o valor absoluto dessa função ao longo da circunferência .

Passo 4

Para aplicar a Inequality de ML, precisamos encontrar dois valores:
  • M: um limite superior para na circunferência.
  • L: o comprimento do contorno .

Passo 5

Vamos calcular . Primeiro, encontramos o valor absoluto do denominador:
Como , então:
Portanto:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular , que é o comprimento da circunferência :

Passo 7

Aplicando a Inequality de ML:
Simplificando a fração:

Resposta

Um limitante superior para o valor absoluto da integral é .

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