Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem que calcular a integral de contorno de uma função logarítmica, especificamente , ao longo do círculo definido por . Isso envolve o Teorema de Cauchy-Goursat, que é uma parte importante da matéria de Análise Complexa. Para resolver isso, vamos precisar saber se a função é “analítica” dentro e sobre o contorno , ou seja, se ela não tem singularidades (pontos problemáticos) nesse domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Teorema de Cauchy-Goursat nos diz que se uma função é analítica em um domínio simples (sem “buracos”) e sobre um contorno fechado dentro desse domínio, então a integral dessa função ao longo desse contorno é zero. Então, precisamos verificar se é analítica dentro e sobre o círculo .

Passo 3

A função é a função logarítmica complexa com um ramo específico. Essa função é analítica em todo lugar onde , ou seja, onde . Agora, olhemos para o contorno : é o círculo com raio 2 centrado na origem ( ). O ponto está a uma distância de 10 unidades da origem, que é muito maior que o raio do círculo (2). Portanto, dentro e sobre , a função não tem singularidades e é analítica.

Passo 4

Como a função é analítica dentro e sobre o contorno , podemos aplicar diretamente o Teorema de Cauchy-Goursat. Segundo esse teorema, a integral de uma função analítica sobre um contorno fechado é igual a zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(a)
Determine um limitante superior para o valor absoluto das seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(a) , onde é a circunferência .
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
(b)
Hallar las derivadas parciales de: