Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem que calcular a integral de contorno de uma função logarítmica, especificamente
, ao longo do círculo
definido por
. Isso envolve o Teorema de Cauchy-Goursat, que é uma parte importante da matéria de Análise Complexa. Para resolver isso, vamos precisar saber se a função
é “analítica” dentro e sobre o contorno
, ou seja, se ela não tem singularidades (pontos problemáticos) nesse domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Teorema de Cauchy-Goursat nos diz que se uma função é analítica em um domínio simples (sem “buracos”) e sobre um contorno fechado dentro desse domínio, então a integral dessa função ao longo desse contorno é zero. Então, precisamos verificar se
é analítica dentro e sobre o círculo
.
Passo 3
A função
é a função logarítmica complexa com um ramo específico. Essa função é analítica em todo lugar onde
, ou seja, onde
. Agora, olhemos para o contorno
: é o círculo com raio 2 centrado na origem (
). O ponto
está a uma distância de 10 unidades da origem, que é muito maior que o raio do círculo (2). Portanto, dentro e sobre
, a função
não tem singularidades e é analítica.
Passo 4
Como a função
é analítica dentro e sobre o contorno
, podemos aplicar diretamente o Teorema de Cauchy-Goursat. Segundo esse teorema, a integral de uma função analítica sobre um contorno fechado é igual a zero.
Resposta
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Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(a)
(a)
Determine um limitante superior para o valor absoluto das seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(a) , onde
é a circunferência
.
(a)
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
(b)
(b)
Hallar las derivadas parciales de: