Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o limite de quando
se aproximam de
. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) que é bem útil pra esses casos de limites em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, lembra que a função seno tem um comportamento limpo: sempre fica entre -1 e 1, ou seja:
Isso é uma propriedade básica da função seno, independente do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar toda essa desigualdade por
. Mas atenção: como não sabemos se
é positivo ou negativo, vamos falar em módulo pra manter a desigualdade:
Isso nos dá dois limites para o nosso termo meio complicado.
Passo 4
O próximo passo é analisar o que acontece com
quando
se aproxima de
. Simplesmente, se
e
estão indo para 0, o produto deles também vai para 0:
E claro, o mesmo vale para
que também tende a 0.
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema do Confronto, já que está “espremido” entre duas expressões que tendem a 0, a função inteira também tem que tender a 0.
Resposta
O limite é 0.
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