Use o Teorema do Confronto para determinar o limite. lim (x, y) (0,0) x y sen 1x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o limite de quando se aproximam de . Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) que é bem útil pra esses casos de limites em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, lembra que a função seno tem um comportamento limpo: sempre fica entre -1 e 1, ou seja:
Isso é uma propriedade básica da função seno, independente do valor de -1 <= sen( 1x^2 + y^2 ) <= 1 .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar toda essa desigualdade por -|xy| <= xy sen( 1x^2 + y^2 ) <= |xy| . Mas atenção: como não sabemos se é positivo ou negativo, vamos falar em módulo pra manter a desigualdade:
Isso nos dá dois limites para o nosso termo meio complicado.

Passo 4

O próximo passo é analisar o que acontece com lim(x, y) to (0,0) |xy| = 0 quando se aproxima de . Simplesmente, se e estão indo para 0, o produto deles também vai para 0:
E claro, o mesmo vale para que também tende a 0.

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema do Confronto, já que está “espremido” entre duas expressões que tendem a 0, a função inteira também tem que tender a 0.

Resposta

O limite é 0.

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Mostre que o limite não existe. lim (x) y) (0) x^2+x y^2x^4+y^2
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (infty) x y^4x^2+y^8
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. g(x, y) = (x^2 + x*y)^3
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (-1-2)(x^2 y-x y^2+3)^3