Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) 1arctan (x^2+y^2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar o limite da função 1arctan(x^2+y^2) quando os pontos (x, y) se aproximam de (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e as propriedades da função arco-tangente (arctan).

Passo 2

Primeiro, observamos o que acontece com a expressão x^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Claramente, x^2 + y^2 tende a 0.

Passo 3

Sabemos que para valores pequenos de z, a função arctan(z) pode ser aproximada por z. Ou seja, quando z é próximo de 0, temos arctan(z) approx z.

Passo 4

Aplicando essa aproximação à nossa função, temos:
arctan(x^2+y^2) approx x^2 + y^2 quando (x, y) (0,0)

Passo 5

Substituindo essa aproximação na função original, ficamos com:
1arctan(x^2+y^2) approx 1x^2 + y^2

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento de 1x^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). À medida que x^2 + y^2 tende a 0, a fração 1x^2 + y^2 cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.

Passo 7

Conclusivamente, já que a função tende ao infinito quando (x, y) (0,0), podemos dizer que o limite não existe no sentido finito.

Resposta

O limite não existe porque a função tende ao infinito quando (x, y) (0,0).

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