Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar o limite da função quando os pontos se aproximam de . Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e as propriedades da função arco-tangente (arctan).

Passo 2

Primeiro, observamos o que acontece com a expressão quando se aproxima de . Claramente, tende a .

Passo 3

Sabemos que para valores pequenos de , a função pode ser aproximada por . Ou seja, quando é próximo de , temos .

Passo 4

Aplicando essa aproximação à nossa função, temos:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na função original, ficamos com:

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento de quando se aproxima de . À medida que tende a , a fração cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.

Passo 7

Conclusivamente, já que a função tende ao infinito quando , podemos dizer que o limite não existe no sentido finito.

Resposta

O limite não existe porque a função tende ao infinito quando .

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