Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar o limite da função
quando os pontos
se aproximam de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e as propriedades da função arco-tangente (arctan).
Passo 2
Primeiro, observamos o que acontece com a expressão
quando
se aproxima de
. Claramente,
tende a
.
Passo 3
Sabemos que para valores pequenos de
, a função
pode ser aproximada por
. Ou seja, quando
é próximo de
, temos
.
Passo 4
Aplicando essa aproximação à nossa função, temos:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na função original, ficamos com:
Passo 6
Agora, analisamos o comportamento de
quando
se aproxima de
. À medida que
tende a
, a fração
cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.
Passo 7
Conclusivamente, já que a função tende ao infinito quando
, podemos dizer que o limite não existe no sentido finito.
Resposta
O limite não existe porque a função tende ao infinito quando
.
Exercícios relacionados
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Determine os limites abaixo
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe