Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) 2^-1x^2 cos (xx+y)

Passo 1

Vamos analisar o limite dado:
lim (x, y) (0,0) 2^-1x^2 cos (xx+y)
Este problema envolve cálculo de limites em duas variáveis. Para resolvê-lo, precisamos entender o comportamento de cada parte da função conforme se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Podemos reescrevê-la como . À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito. Portanto, tende a 0.

Passo 3

Agora, observamos a parte xx+y = 11+yx . Vamos simplificar a fração dentro do cosseno:
-1 <= cos (xx+y) <= 1
Conforme , o termo pode variar dependendo do caminho pelo qual se aproxima de . No entanto, independentemente do valor de , o cosseno está limitado entre -1 e 1:

Passo 4

Multiplicando os resultados obtidos nos passos anteriores:
2^-1x^2 cos (xx+y)
Sabemos que e está limitado entre -1 e 1. Portanto, o produto desses termos tende a 0.

Resposta

lim (x, y) (0,0) 2^-1x^2 cos (xx+y) = 0

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