Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Vamos entender o enunciado: queremos determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso envolve conceitos de cálculo de limites em várias variáveis.
Passo 2
Para resolver esse tipo de limite, uma estratégia comum é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto alvo por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos possíveis, então o limite geral existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Passo 3
Vamos testar alguns caminhos simples:
-
Caminho 1:
e Substituindo na função:Então, ao se aproximar depor esse caminho, o limite é 0. -
Caminho 2:Substituindo na função:Novamente, o limite é 0.
-
Caminho 3:Substituindo na função:Conforme
, esse limite também tende a 0.
Passo 4
Todos os caminhos testados até agora resultaram em limite igual a 0. Para ter certeza de que o limite realmente existe e é 0, podemos usar coordenadas esféricas, que generalizam qualquer caminho de aproximação.
Passo 5
Em coordenadas esféricas, temos:
Substituindo na função:
À medida que
, todo o termo
tende a 0, independente dos valores de
e
. Portanto, o limite geral é 0.
Resposta
O limite é 0.
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