Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y, z) (0,0,0) (x^2+y^2) z7(x^2+y^2+4 z^2)

Passo 1

Vamos entender o enunciado: queremos determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve conceitos de cálculo de limites em várias variáveis.

Passo 2

Para resolver esse tipo de limite, uma estratégia comum é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto alvo por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos possíveis, então o limite geral existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos simples:
  1. Caminho 1: (0 + 0)z7(0 + 0 + 4z^2) = 0 e (x^2 + y^2) cdot 07(x^2 + y^2 + 0) = 0
    Substituindo na função:
    (z^2 + z^2)z7(z^2 + z^2 + 4z^2) = 2z^37 cdot 6z^2 = 2z42 = z21
    Então, ao se aproximar de por esse caminho, o limite é 0.
  2. Caminho 2:
    Substituindo na função:
    Novamente, o limite é 0.
  3. Caminho 3:
    Substituindo na função:
    Conforme , esse limite também tende a 0.

Passo 4

Todos os caminhos testados até agora resultaram em limite igual a 0. Para ter certeza de que o limite realmente existe e é 0, podemos usar coordenadas esféricas, que generalizam qualquer caminho de aproximação.

Passo 5

Em coordenadas esféricas, temos:
x = rho cos theta sin phi, y = rho sin theta sin phi, z = rho cos phi
Substituindo na função:
(x^2 + y^2)z7(x^2 + y^2 + 4z^2) = (rho^2 sin^2phi)(rho cos phi)7(rho^2 sin^2phi + 4rho^2 cos^2phi) = rho^3 sin^2phi cos phi7rho^2(sin^2phi + 4cos^2phi) = rho sin^2phi cos phi7(sin^2phi + 4cos^2phi)
À medida que , todo o termo tende a 0, independente dos valores de e . Portanto, o limite geral é 0.

Resposta

O limite é 0.

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