Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Vamos entender o enunciado: queremos determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve conceitos de cálculo de limites em várias variáveis.

Passo 2

Para resolver esse tipo de limite, uma estratégia comum é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto alvo por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos possíveis, então o limite geral existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos simples:
  1. Caminho 1: e
    Substituindo na função:
    Então, ao se aproximar de por esse caminho, o limite é 0.
  2. Caminho 2:
    Substituindo na função:
    Novamente, o limite é 0.
  3. Caminho 3:
    Substituindo na função:
    Conforme , esse limite também tende a 0.

Passo 4

Todos os caminhos testados até agora resultaram em limite igual a 0. Para ter certeza de que o limite realmente existe e é 0, podemos usar coordenadas esféricas, que generalizam qualquer caminho de aproximação.

Passo 5

Em coordenadas esféricas, temos:
Substituindo na função:
À medida que , todo o termo tende a 0, independente dos valores de e . Portanto, o limite geral é 0.

Resposta

O limite é 0.

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