Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^2

Passo 1

Vamos analisar o limite da função de duas variáveis:
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^2
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites multivariáveis, verificando se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se for o mesmo por todos os caminhos, o limite existe; caso contrário, ele não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do caminho x^2 times 0 times e^0x^4 + 4 times 0^2 = 0x^4 = 0:

Portanto, ao longo de , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do caminho 0^2 times y times e^y0^4 + 4 y^2 = 04 y^2 = 0:

Assim, ao longo de , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos considerar um caminho mais geral, por exemplo, limx to 0 x^2 times k x^2 times e^k x^2x^4 + 4 (k x^2)^2 = limx to 0 k x^4 e^k x^2x^4 + 4 k^2 x^4, onde = limx to 0 k e^k x^21 + 4 k^2 = k1 + 4 k^2 é uma constante:

Aqui, o limite depende do valor de . Ou seja, diferentes valores de dão diferentes resultados para o limite.

Resposta

Como o limite varia conforme o caminho escolhido (diferentes valores de resultam em limites diferentes), o limite não existe.

Exercícios relacionados