Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Vamos analisar o limite da função de duas variáveis:

Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites multivariáveis, verificando se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se for o mesmo por todos os caminhos, o limite existe; caso contrário, ele não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do caminho :

Portanto, ao longo de , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do caminho :

Assim, ao longo de , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos considerar um caminho mais geral, por exemplo, , onde é uma constante:

Aqui, o limite depende do valor de . Ou seja, diferentes valores de dão diferentes resultados para o limite.

Resposta

Como o limite varia conforme o caminho escolhido (diferentes valores de resultam em limites diferentes), o limite não existe.

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