Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) 3 x^4 y^4(x^4+y^2)^3

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao estudo de limites de funções de duas variáveis, um tópico importante no cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta à medida que se aproxima de e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Observamos que no numerador temos f(x, y) = 3x^4 y^4(x^4 + y^2)^3 e no denominador . Para entender o comportamento do limite, é útil reescrever a função:

Passo 3

Para investigar se o limite existe, podemos analisar a função ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de . Se obtivermos valores diferentes para o limite ao seguir caminhos distintos, então o limite não existe.

Passo 4

Vamos considerar o caminho onde f(x, kx^2) = 3x^4 (kx^2)^4(x^4 + (kx^2)^2)^3 = 3x^4 k^4 x^8(x^4 + k^2 x^4)^3 = 3k^4 x^12(x^4(1 + k^2))^3 = 3k^4 x^12x^12(1 + k^2)^3 = 3k^4(1 + k^2)^3 , onde é uma constante. Substituindo na função:

Passo 5

O resultado depende do valor de . Isso significa que para diferentes valores de , temos diferentes limites ao nos aproximarmos de . Por exemplo:
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .

Passo 6

Como estamos obtendo resultados diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido (diferentes valores de ), concluímos que o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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