Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício pertence ao estudo de limites de funções de duas variáveis, um tópico importante no cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta à medida que
se aproxima de
e verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Observamos que no numerador temos
e no denominador
. Para entender o comportamento do limite, é útil reescrever a função:
Passo 3
Para investigar se o limite existe, podemos analisar a função ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de
. Se obtivermos valores diferentes para o limite ao seguir caminhos distintos, então o limite não existe.
Passo 4
Vamos considerar o caminho onde
, onde
é uma constante. Substituindo
na função:
Passo 5
O resultado
depende do valor de
. Isso significa que para diferentes valores de
, temos diferentes limites ao nos aproximarmos de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Passo 6
Como estamos obtendo resultados diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido (diferentes valores de
), concluímos que o limite não é único.
Resposta
O limite não existe.
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