Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:

Passo 1

Neste exercício, temos uma equação diferencial de variáveis separáveis: com a condição inicial . Vamos resolver essa equação usando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :

Passo 3

Agora, separamos as variáveis e dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Integrando ambos os lados:
A integral à esquerda fica:
Para a integral à direita, fazemos a substituição , então :

Passo 5

Igualando as integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :
Multiplicando ambos os lados por :
Podemos reescrever como:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial :

Passo 7

Substituindo o valor de na equação:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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