Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial que envolve funções homogêneas ou quase homogêneas. O enunciado é:

Vamos precisar entender como resolver equações desse tipo usando substituições que simplificam a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma boa substituição. Vemos que a equação tem termos de e . Isso sugere que podemos usar a substituição:

Então, . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 3

Vamos substituir e na equação original:

Distribuindo :
Os termos se cancelam:

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :

Isso nos dá uma equação que podemos separar as variáveis:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados. Lembre-se que:

Então:
A integral do lado esquerdo fica:

Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para :

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação é:

Onde é uma constante arbitrária.

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