Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial que envolve funções homogêneas ou quase homogêneas. O enunciado é:
Vamos precisar entender como resolver equações desse tipo usando substituições que simplificam a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma boa substituição. Vemos que a equação tem termos de
e
. Isso sugere que podemos usar a substituição:
Então,
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação original:
Distribuindo
Os termos
se cancelam:
Passo 4
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá uma equação que podemos separar as variáveis:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados. Lembre-se que:
Então:
A integral do lado esquerdo fica:
Onde
Passo 6
Vamos resolver para
:
Lembrando que
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
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