Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, onde precisamos verificar se o limite existe ou não dependendo de como nos aproximamos do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador envolvem e . Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde e , e é a distância até a origem.

Passo 3

Substituindo e por suas expressões em coordenadas polares, a função fica:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, queremos ver o que acontece com quando se aproxima de 0. Note que está sempre entre 0 e 1, independentemente do valor de .

Passo 5

Como tende a 0 e é limitado, o produto também tende a 0. Isso significa que, não importa o caminho que a gente escolha para se aproximar de , o limite será 0.

Resposta

O limite é 0.

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