Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, onde precisamos verificar se o limite existe ou não dependendo de como nos aproximamos do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador envolvem
e
. Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, e
é a distância até a origem.
Passo 3
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares, a função fica:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, queremos ver o que acontece com
quando
se aproxima de 0. Note que
está sempre entre 0 e 1, independentemente do valor de
.
Passo 5
Como
tende a 0 e
é limitado, o produto
também tende a 0. Isso significa que, não importa o caminho que a gente escolha para se aproximar de
, o limite será 0.
Resposta
O limite é 0.
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