Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) 1-cos raizx yx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro da matéria de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades do limite e também a expansão em série de Taylor para o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador cos z approx 1 - z^22 quando 1 - cos z approx z^22 se aproxima de . Sabemos que, para valores pequenos de , a função cosseno pode ser aproximada por:
Isso significa que:

Passo 3

Aplicando essa aproximação na nossa função, onde 1 - cos raizxy approx (raizxy)^22 = xy2 , temos:
1 - cos raizxyx approx xy2x = y2
Então, nossa expressão original fica mais simples:

Passo 4

Agora, precisamos analisar o limite de lim(x, y) (0,0) y2 = 0 quando se aproxima de . Como depende apenas de , e tende a 0, fica claro que:

Resposta

Portanto, o limite existe e é igual a 0.

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