Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro da matéria de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades do limite e também a expansão em série de Taylor para o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador quando se aproxima de . Sabemos que, para valores pequenos de , a função cosseno pode ser aproximada por:
Isso significa que:

Passo 3

Aplicando essa aproximação na nossa função, onde , temos:
Então, nossa expressão original fica mais simples:

Passo 4

Agora, precisamos analisar o limite de quando se aproxima de . Como depende apenas de , e tende a 0, fica claro que:

Resposta

Portanto, o limite existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados

Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe