Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro da matéria de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades do limite e também a expansão em série de Taylor para o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador
quando
se aproxima de
. Sabemos que, para valores pequenos de
, a função cosseno pode ser aproximada por:
Isso significa que:
Passo 3
Aplicando essa aproximação na nossa função, onde
, temos:
Então, nossa expressão original fica mais simples:
Passo 4
Agora, precisamos analisar o limite de
quando
se aproxima de
. Como
depende apenas de
, e
tende a 0, fica claro que:
Resposta
Portanto, o limite existe e é igual a 0.
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