Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x^2 y^2raizy^2+1-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão, especialmente o denominador, para facilitar a análise quando e se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador: . Para simplificar isso, vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a eliminar a raiz do denominador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada, que neste caso é .

Passo 3

Fazendo a multiplicação, temos:
x^2 y^2raizy^2+1-1 times raizy^2+1+1raizy^2+1+1 = x^2 y^2 (raizy^2+1 + 1)(raizy^2+1)^2 - 1^2
No denominador, usamos a identidade (raizy^2+1)^2 - 1 = y^2 + 1 - 1 = y^2 , o que simplifica para:

Passo 4

Agora a expressão ficou:
x^2 y^2 (raizy^2+1 + 1)y^2 = x^2 (raizy^2+1 + 1)
Aqui, os no numerador e denominador se cancelam.

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando raizy^2+1 + 1 raiz0 + 1 + 1 = 1 + 1 = 2 se aproxima de 0:
x^2 times 2 = 2x^2
Então, a expressão simplificada fica:
2x^2 0
E quando se aproxima de 0:

Resposta

O limite é .

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