Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão, especialmente o denominador, para facilitar a análise quando e se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador: . Para simplificar isso, vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a eliminar a raiz do denominador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada, que neste caso é .

Passo 3

Fazendo a multiplicação, temos:
No denominador, usamos a identidade , o que simplifica para:

Passo 4

Agora a expressão ficou:
Aqui, os no numerador e denominador se cancelam.

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 0:
Então, a expressão simplificada fica:
E quando se aproxima de 0:

Resposta

O limite é .

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