Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se existe o limite de
quando
se aproxima de
. Esse exercício é da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites em várias variáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender um pouco sobre limites, funções trigonométricas e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas para algo mais fácil de lidar quando estamos perto de
. Vamos usar as coordenadas polares, onde
e
. Isso ajuda a simplificar a expressão do limite.
Passo 3
Substituindo
e
na função, temos:
Passo 4
Quando
tende a
, o argumento do seno,
, também tende a
. Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Então podemos aproximar:
Passo 5
Substituindo a aproximação na função, ficamos com:
Passo 6
Agora, percebemos que o resultado
depende de
, ou seja, do caminho que estamos tomando para chegar em
. Se escolhermos diferentes valores para
, vamos obter diferentes resultados.
Passo 7
Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 8
Como o resultado do limite depende do valor de
, ele não é o mesmo para todos os caminhos que se aproximam de
. Isso significa que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.
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