Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se existe o limite de quando se aproxima de . Esse exercício é da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites em várias variáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender um pouco sobre limites, funções trigonométricas e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas para algo mais fácil de lidar quando estamos perto de . Vamos usar as coordenadas polares, onde e . Isso ajuda a simplificar a expressão do limite.

Passo 3

Substituindo e na função, temos:

Passo 4

Quando tende a , o argumento do seno, , também tende a . Sabemos que, para valores pequenos de , . Então podemos aproximar:

Passo 5

Substituindo a aproximação na função, ficamos com:

Passo 6

Agora, percebemos que o resultado depende de , ou seja, do caminho que estamos tomando para chegar em . Se escolhermos diferentes valores para , vamos obter diferentes resultados.

Passo 7

Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 8

Como o resultado do limite depende do valor de , ele não é o mesmo para todos os caminhos que se aproximam de . Isso significa que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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