Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) sin x yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se existe o limite de sin(xy)x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse exercício é da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites em várias variáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender um pouco sobre limites, funções trigonométricas e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas para algo mais fácil de lidar quando estamos perto de (0,0). Vamos usar as coordenadas polares, onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta). Isso ajuda a simplificar a expressão do limite.

Passo 3

Substituindo x e y na função, temos:
sin(xy)x^2+y^2 = sin(r cos(theta) cdot r sin(theta))r^2 = sin(r^2 sin(theta) cos(theta))r^2

Passo 4

Quando r tende a 0, o argumento do seno, r^2 sin(theta) cos(theta), também tende a 0. Sabemos que, para valores pequenos de z, sin(z) approx z. Então podemos aproximar:
sin(r^2 sin(theta) cos(theta)) approx r^2 sin(theta) cos(theta)

Passo 5

Substituindo a aproximação na função, ficamos com:
sin(r^2 sin(theta) cos(theta))r^2 approx r^2 sin(theta) cos(theta)r^2 = sin(theta) cos(theta)

Passo 6

Agora, percebemos que o resultado sin(theta) cos(theta) depende de theta, ou seja, do caminho que estamos tomando para chegar em (0,0). Se escolhermos diferentes valores para theta, vamos obter diferentes resultados.

Passo 7

Por exemplo:
  • Se theta = 0, então sin(0) cos(0) = 0.
  • Se theta = pi4, então sin(pi4) cos(pi4) = raiz22 cdot raiz22 = 12.

Passo 8

Como o resultado do limite depende do valor de theta, ele não é o mesmo para todos os caminhos que se aproximam de (0,0). Isso significa que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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