Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente precisa determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve o conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente, o estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente e na função para ver o que acontece:
Dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos analisar melhor para ver se o limite realmente existe ou não.

Passo 3

Uma boa maneira de investigar limites em funções de duas variáveis é aproximar o ponto por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Vamos tentar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho 1: Vamos aproximar mantendo e deixando se aproximar de 1.
    Substituindo na função:
    Isso fica novamente, mas vamos analisar melhor. O numerador pode ser reescrito como . Então, temos:
    À medida que se aproxima de 1, o numerador se aproxima de 0, mas o denominador é exatamente 0. Isso sugere que, pelo menos por esse caminho, o limite tende a infinito ou não existe.
  2. Caminho 2: Vamos aproximar seguindo a reta , onde é uma constante qualquer.
    Substituindo na função:
    Simplificando o numerador:
    Se se aproxima de 1, substituímos onde :
    O denominador fica:
    Então, a função vira:
    À medida que , o limite depende de . Ou seja, diferentes valores de darão diferentes resultados para o limite.

Passo 4

Como vimos, ao escolher diferentes valores de na reta , obtemos diferentes valores para o limite:
  • Se , por exemplo, temos:
  • Se , temos:
Como o limite depende do caminho escolhido (ou do valor de ), isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções. Portanto, o limite da função quando se aproxima de não existe.

Resposta

O limite não existe.

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