Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente precisa determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente, o estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
e
na função para ver o que acontece:
Dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos analisar melhor para ver se o limite realmente existe ou não.
Passo 3
Uma boa maneira de investigar limites em funções de duas variáveis é aproximar o ponto por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Vamos tentar dois caminhos diferentes:
-
Caminho 1: Vamos aproximar
mantendo e deixando se aproximar de 1. Substituindona função: Isso ficanovamente, mas vamos analisar melhor. O numerador pode ser reescrito como . Então, temos: À medida quese aproxima de 1, o numerador se aproxima de 0, mas o denominador é exatamente 0. Isso sugere que, pelo menos por esse caminho, o limite tende a infinito ou não existe. -
Caminho 2: Vamos aproximar
seguindo a reta , onde é uma constante qualquer. Substituindona função: Simplificando o numerador:Sese aproxima de 1, substituímos onde : O denominador fica:Então, a função vira:À medida que, o limite depende de . Ou seja, diferentes valores de darão diferentes resultados para o limite.
Passo 4
Como vimos, ao escolher diferentes valores de
na reta
, obtemos diferentes valores para o limite:
-
Se
, por exemplo, temos: -
Se
, temos:
Como o limite depende do caminho escolhido (ou do valor de
), isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções. Portanto, o limite da função
quando
se aproxima de
não existe.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Determine os limites abaixo
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe