Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x yy-x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar pelo caminho mais simples: y = 0. Substituindo na função:
x cdot 00 - x^3 = 0-x^3 = 0
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher outro caminho: y = m \cdot x, onde x cdot (m x)m x - x^3 = m x^2x(m - x^2) = m xm - x^2 é uma constante qualquer. Substituindo na função:
m cdot 0m - 0 = 0
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então a expressão fica:
Então, pelo caminho , o limite também é 0.

Passo 5

Vamos testar outro caminho mais complicado: y = x^{3}. Substituindo na função:
x cdot x^3x^3 - x^3 = x^40
Aqui, estamos dividindo por zero, o que é indefinido. Isso sugere que o limite pode não existir, mas precisamos confirmar com mais caminhos.

Passo 6

Vamos tentar um caminho onde x (x^3 + x^4)(x^3 + x^4) - x^3 = x^4 + x^5x^4 = 1 + x se aproxima de de uma maneira ligeiramente diferente, por exemplo: y = x^{3} + x^{4}. Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, isso tende a 1.

Passo 7

Agora, temos dois resultados diferentes dependendo do caminho:
  • Pelo caminho e , o limite é 0.
  • Pelo caminho , o limite é 1.
Como estamos obtendo resultados diferentes, isso confirma que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados