Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar pelo caminho mais simples: y = 0. Substituindo na função:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos escolher outro caminho: y = m \cdot x, onde
é uma constante qualquer. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, então a expressão fica:
Então, pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 5
Vamos testar outro caminho mais complicado: y = x^{3}. Substituindo na função:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que é indefinido. Isso sugere que o limite pode não existir, mas precisamos confirmar com mais caminhos.
Passo 6
Vamos tentar um caminho onde
se aproxima de
de uma maneira ligeiramente diferente, por exemplo: y = x^{3} + x^{4}. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0, isso tende a 1.
Passo 7
Agora, temos dois resultados diferentes dependendo do caminho:
- Pelo caminho
e , o limite é 0. - Pelo caminho
, o limite é 1.
Como estamos obtendo resultados diferentes, isso confirma que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.
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