Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
lim (x, y) (0,1) x^2(y-1)^2x^4+(y-1)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí. O enunciado pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de . Vamos usar conhecimentos de cálculo de limites multivariáveis e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar. Vamos fazer uma mudança de variável: seja f(u, v) = u^2v^2u^4 + v^4 e . Assim, o ponto se aproxima de é equivalente a se aproximar de . A função fica então:

Passo 3

Agora, para verificar se o limite existe, vamos analisar se ele é o mesmo ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos (ou “caminhos de aproximação”). Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, ele existe; caso contrário, não existe.

Passo 4

Vamos tentar nos aproximar de f(u, k cdot u) = u^2(k cdot u)^2u^4 + (k cdot u)^4 = k^2u^4u^4 + k^4u^4 = k^21 + k^4 ao longo de diferentes linhas retas, onde , sendo uma constante qualquer.
Substituindo na função:
Perceba que, ao simplificar, o cancela, e o resultado depende somente de .

Passo 5

Vamos ver alguns exemplos:
  • Se 1^21 + 1^4 = 12 :
2^21 + 2^4 = 417
  • Se 0^21 + 0^4 = 0 :
  • Se (camino ao longo do eixo ):
Cada valor de dá um resultado diferente para o limite.

Passo 6

Como o resultado do limite depende do valor de , ou seja, do caminho que escolhemos para nos aproximar de , isso significa que o limite não é único. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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