Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite aí. O enunciado pede para encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Vamos usar conhecimentos de cálculo de limites multivariáveis e verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar. Vamos fazer uma mudança de variável: seja
e
. Assim, o ponto
se aproxima de
é equivalente a
se aproximar de
. A função fica então:
Passo 3
Agora, para verificar se o limite existe, vamos analisar se ele é o mesmo ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos (ou “caminhos de aproximação”). Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, ele existe; caso contrário, não existe.
Passo 4
Vamos tentar nos aproximar de
ao longo de diferentes linhas retas, onde
, sendo
uma constante qualquer.
Substituindo
na função:
Perceba que, ao simplificar, o
cancela, e o resultado depende somente de
.
Passo 5
Vamos ver alguns exemplos:
- Se
:
- Se
:
- Se
(camino ao longo do eixo ):
Cada valor de
dá um resultado diferente para o limite.
Passo 6
Como o resultado do limite depende do valor de
, ou seja, do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, isso significa que o limite não é único. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.
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Mostrar que os seguintes limites não existem: