Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:

Passo 1

Vamos determinar o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites em múltiplas variáveis e analisar se o limite existe verificando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando .
Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo x é .

Passo 3

Agora, vamos avaliar o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando .
Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo y também é .

Passo 4

Vamos agora avaliar o limite ao longo da linha , onde é uma constante.
Substituindo na função:
À medida que se aproxima de , tende ao infinito. Isso mostra que o limite depende do caminho escolhido e, portanto, não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação resultam em valores distintos.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir: