Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Passo 1
Vamos determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em múltiplas variáveis e analisar se o limite existe verificando diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando
.
Substituindo
na função:
Então, o limite ao longo do eixo x é
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando
.
Substituindo
na função:
Então, o limite ao longo do eixo y também é
.
Passo 4
Vamos agora avaliar o limite ao longo da linha
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
À medida que
se aproxima de
,
tende ao infinito. Isso mostra que o limite depende do caminho escolhido e, portanto, não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação resultam em valores distintos.
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