Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
lim (x, y) (0,0) x yx^3+y^3

Passo 1

Vamos determinar o limite da função xyx^3+y^3 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de limites em múltiplas variáveis e analisar se o limite existe verificando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0.
Substituindo y = 0 na função:
x cdot 0x^3 + 0^3 = 0
Então, o limite ao longo do eixo x é 0.

Passo 3

Agora, vamos avaliar o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0.
Substituindo x = 0 na função:
0 cdot y0^3 + y^3 = 0
Então, o limite ao longo do eixo y também é 0.

Passo 4

Vamos agora avaliar o limite ao longo da linha y = kx, onde k é uma constante.
Substituindo y = kx na função:
x cdot kxx^3 + (k x)^3 = k x^2x^3 + k^3 x^3 = k x^2x^3(1 + k^3) = kx(1 + k^3)
À medida que x se aproxima de 0, kx(1 + k^3) tende ao infinito. Isso mostra que o limite depende do caminho escolhido e, portanto, não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação resultam em valores distintos.

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