Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
lim (x, y) (2,-1) x^3+x^2 y^3+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o limite da função f(x, y) = x^3 + x^2 y^3 + 4 quando (x, y) se aproxima de (2, -1). Isso está relacionado ao conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites de funções contínuas e aplicar isso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a função dada é um polinômio em x e y. Uma coisa importante sobre polinômios é que eles são funções contínuas em todo o seu domínio, ou seja, não têm quebras, buracos ou saltos.

Passo 3

Como a função é contínua, o limite dela quando (x, y) se aproxima de um ponto específico é simplesmente o valor da função nesse ponto. Isso significa que podemos calcular o limite substituindo diretamente x e y pelos valores que eles estão se aproximando.

Passo 4

Vamos substituir x = 2 e y = -1 na função:
f(2, -1) = (2)^3 + (2)^2 cdot (-1)^3 + 4

Passo 5

Agora, vamos calcular cada termo:
2^3 = 8
2^2 = 4
(-1)^3 = -1
Então:
f(2, -1) = 8 + 4 cdot (-1) + 4 = 8 - 4 + 4

Passo 6

Somando os valores:
8 - 4 + 4 = 8

Resposta

O limite é 8.

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