Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
lim (x, y) (0,0) x^2 tan xx^2+y^2

Passo 1

Então, a gente tem um limite de uma função de duas variáveis. O enunciado pede para encontrar o limite quando lim (x, y) (0,0) x^2 tan xx^2+y^2 se aproxima de para a função:
Vamos precisar usar conhecimentos de limites em funções de várias variáveis e algumas propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento da tangente próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função tan x approx x quando x 0 perto de x^2 tan xx^2+y^2 approx x^2 cdot xx^2+y^2 = x^3x^2+y^2 . Sabemos que:
Isso significa que, para valores muito pequenos de , se comporta aproximadamente como . Então, podemos fazer uma substituição aproximada na nossa função:

Passo 3

Agora, para analisar o limite x = r cos theta e y = r sin theta , vamos usar coordenadas polares. Isso facilita a análise porque transforma a aproximação para (r cos theta)^3(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^3 cos^3 thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^3 cos^3 thetar^2 = r cos^3 theta em , onde é a distância até a origem.
Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo esses valores na função:

Passo 4

Agora, analisamos o limite quando limr 0 r cos^3 theta = 0 cdot cos^3 theta = 0 :
Isso porque está se aproximando de zero, e é uma função limitada (sempre entre e ).

Passo 5

Como o resultado do limite é zero independentemente do ângulo escolhido, concluímos que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

lim (x, y) (0,0) x^2 tan xx^2+y^2 = 0

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