Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Passo 1
Então, a gente tem um limite de uma função de duas variáveis. O enunciado pede para encontrar o limite quando
se aproxima de
para a função:
Vamos precisar usar conhecimentos de limites em funções de várias variáveis e algumas propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento da tangente próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função
perto de
. Sabemos que:
Isso significa que, para valores muito pequenos de
,
se comporta aproximadamente como
. Então, podemos fazer uma substituição aproximada na nossa função:
Passo 3
Agora, para analisar o limite
, vamos usar coordenadas polares. Isso facilita a análise porque transforma a aproximação para
em
, onde
é a distância até a origem.
Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo esses valores na função:
Passo 4
Agora, analisamos o limite quando
:
Isso porque
está se aproximando de zero, e
é uma função limitada (sempre entre
e
).
Passo 5
Como o resultado do limite é zero independentemente do ângulo
escolhido, concluímos que o limite existe e é igual a zero.
Resposta
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Seja
. Mostre que:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir: