Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:

Passo 1

Então, a gente tem um limite de uma função de duas variáveis. O enunciado pede para encontrar o limite quando se aproxima de para a função:
Vamos precisar usar conhecimentos de limites em funções de várias variáveis e algumas propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento da tangente próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função perto de . Sabemos que:
Isso significa que, para valores muito pequenos de , se comporta aproximadamente como . Então, podemos fazer uma substituição aproximada na nossa função:

Passo 3

Agora, para analisar o limite , vamos usar coordenadas polares. Isso facilita a análise porque transforma a aproximação para em , onde é a distância até a origem.
Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo esses valores na função:

Passo 4

Agora, analisamos o limite quando :
Isso porque está se aproximando de zero, e é uma função limitada (sempre entre e ).

Passo 5

Como o resultado do limite é zero independentemente do ângulo escolhido, concluímos que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

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Seja . Mostre que:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir: