Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver um limite de duas variáveis. O enunciado é o seguinte:
Isso significa que queremos ver o que essa expressão se aproxima quando e se aproximam de zero. Para resolver, vamos verificar o comportamento da função ao nos aproximarmos de diferentes caminhos rumo ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o caminho onde . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo ( ), o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho. Vamos escolher . Substituindo na função:
Aqui, ao nos aproximarmos pelo caminho , o limite é .

Passo 4

Observamos que obtivemos dois resultados diferentes dependendo do caminho escolhido:
  • Pelo caminho , o limite foi 0.
  • Pelo caminho , o limite foi .
Como os limites ao longo de caminhos diferentes não são iguais, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação dão resultados distintos.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Seja . Mostre que: