Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um limite de duas variáveis. O enunciado é o seguinte:
Isso significa que queremos ver o que essa expressão se aproxima quando
e
se aproximam de zero. Para resolver, vamos verificar o comportamento da função ao nos aproximarmos de diferentes caminhos rumo ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o caminho onde
. Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
(
), o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar outro caminho. Vamos escolher
. Substituindo na função:
Aqui, ao nos aproximarmos pelo caminho
, o limite é
.
Passo 4
Observamos que obtivemos dois resultados diferentes dependendo do caminho escolhido:
- Pelo caminho
, o limite foi 0. - Pelo caminho
, o limite foi .
Como os limites ao longo de caminhos diferentes não são iguais, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação dão resultados distintos.
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Seja
. Mostre que: