Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver um limite de duas variáveis. O enunciado é o seguinte:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+y^2
Isso significa que queremos ver o que essa expressão se aproxima quando e se aproximam de zero. Para resolver, vamos verificar o comportamento da função ao nos aproximarmos de diferentes caminhos rumo ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o caminho onde x^2 cdot 0x^4 + 0^2 = 0x^4 = 0 . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo ( ), o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho. Vamos escolher x^2 cdot x^2x^4 + (x^2)^2 = x^4x^4 + x^4 = x^42x^4 = 12 . Substituindo na função:
Aqui, ao nos aproximarmos pelo caminho , o limite é .

Passo 4

Observamos que obtivemos dois resultados diferentes dependendo do caminho escolhido:
  • Pelo caminho , o limite foi 0.
  • Pelo caminho , o limite foi .
Como os limites ao longo de caminhos diferentes não são iguais, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação dão resultados distintos.

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