Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação do primeiro grau que envolve derivadas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar . Temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa reorganizar a equação para ter todas as funções de de um lado e as de do outro:
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação. Para integrar o lado esquerdo, vamos usar frações parciais. Ou seja, vamos decompor em duas frações mais simples:
Resolvendo para e :
Para : então
Para : então
Portanto:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 7
Para resolver para , vamos retirar o logaritmo exponenciando ambos os lados: