Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação do primeiro grau que envolve derivadas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar . Temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa reorganizar a equação para ter todas as funções de de um lado e as de do outro:

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação. Para integrar o lado esquerdo, vamos usar frações parciais. Ou seja, vamos decompor em duas frações mais simples:
Resolvendo para e :
Para : então
Para : então
Portanto:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:

Passo 7

Para resolver para , vamos retirar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 8

Agora, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir: