Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você trouxe:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente do tipo de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação e nos permite encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, , e .

Passo 3

A equação de Bernoulli não é linear devido ao termo , mas podemos torná-la linear usando uma substituição. Vamos definir:
Essa substituição ajuda a transformar a equação original em uma forma linear que podemos resolver mais facilmente.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Rearranjando para :

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Dividindo todos os termos por :
Como , temos:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação por para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 7

O fator integrante é dado por:
Como é parte da condição inicial, consideramos negativo, então .

Passo 8

Multiplicamos a equação linear por :
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:
Tomando ambos os lados à potência de :

Passo 11

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Elevando ambos os lados à potência de :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: