Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você trouxe:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente do tipo de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação e nos permite encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
A equação de Bernoulli não é linear devido ao termo
, mas podemos torná-la linear usando uma substituição. Vamos definir:
Essa substituição ajuda a transformar a equação original em uma forma linear que podemos resolver mais facilmente.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Rearranjando para
:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Dividindo todos os termos por
:
Como
, temos:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação por
para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em
que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 7
O fator integrante
é dado por:
Como
é parte da condição inicial, consideramos
negativo, então
.
Passo 8
Multiplicamos a equação linear por
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Tomando ambos os lados à potência de
:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Elevando ambos os lados à potência de
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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