Seja f(x, y)=(x^2+y^2)^2 / 3. Mostre que:
fx(x, y)= 4 x3(x^2+y^2)^1 / 3 & se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y) neq(0,0)

Passo 1

Então, o enunciado nos pede para calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e entender o que acontece quando é diferente de e quando é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar no caso onde . Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A função é uma composição de e .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de fx(x, y) = ddx( (x^2 + y^2)^2/3 ) = 23 (x^2 + y^2)^-1/3 cdot 2x = 4x3(x^2 + y^2)^1/3 em relação a é:
Aqui, derivamos a potência e multiplicamos pela derivada interna .

Passo 4

Agora, consideramos o ponto fx(0, 0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h . Para calcular fx(0, 0) = limh to 0 h^4/3h = limh to 0 h^1/3 = 0 , usamos a definição da derivada parcial:
Calculando e , substituímos na expressão:
Portanto, a derivada parcial em é zero.

Resposta

Portanto, a derivada parcial de fx(x, y)= 4x3(x^2+y^2)^1/3 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) em relação a é:

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