Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
lim (x, y) (0,0) raiz[3]x y-1raizx y-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites para funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como as funções se comportam quando duas variáveis se aproximam simultaneamente de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, observamos que à medida que t = xy se aproxima de limt to 0 raiz[3]t - 1raizt - 1 , o produto também se aproxima de . Vamos simplificar a expressão substituindo por uma única variável, digamos . Assim, temos:
Então, o limite original fica:

Passo 3

Agora, precisamos avaliar esse novo limite quando limt to 0 raiz[3]t - 1raizt - 1 = 0 - 10 - 1 = -1-1 = 1 se aproxima de . Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a quando se aproxima de :

Passo 4

Mas atenção! Precisamos verificar se esse limite é consistente quando se aproxima de por valores positivos e negativos.
  • Quando se aproxima de pela direita (valores positivos):
    está bem definida e real, então o cálculo que fizemos acima vale.
  • Quando se aproxima de pela esquerda (valores negativos):
    não está definida nos números reais, já que não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo nesse contexto. Porém, está definida para negativo.
Isso significa que, para se aproximando de por valores negativos, a função não está definida nos reais, mas como estamos considerando apenas aproximações reais onde a função está definida, não precisamos nos preocupar com essa parte.

Passo 5

Portanto, como o limite existe e é o mesmo quando se aproxima de pela direita, podemos concluir que o limite geral também existe.

Resposta

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