Questão.(3,0 pontos) Resolva os PVIs.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) pra resolver, que faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem. A equação que precisamos resolver é:
com a condição inicial
e
. Vamos precisar rearranjar essa equação para uma forma que a gente consiga resolver usando fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo tudo por
(já que
, não tem problema):
Aqui, identificamos que
e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica na equação pra facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Porque o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos os dois lados em relação a
:
O lado esquerdo fica simplesmente
. Para o lado direito, vamos usar integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Então temos:
Passo 6
Resolva para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Sabendo que
e , temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Resposta
A solução do PVI é: