Questão.(3,0 pontos) Resolva os PVIs.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) pra resolver, que faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem. A equação que precisamos resolver é:
com a condição inicial e . Vamos precisar rearranjar essa equação para uma forma que a gente consiga resolver usando fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo tudo por (já que , não tem problema):
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica na equação pra facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
Porque o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos os dois lados em relação a :
O lado esquerdo fica simplesmente . Para o lado direito, vamos usar integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Então temos:

Passo 6

Resolva para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Sabendo que e , temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Uma pedra é atirada verticalmente para cima, partindo-se do solo, com uma velocidade inicial de . Se a única força considerada for aquela atribuída à aceleração devido à gravidade, encontre o tempo que a pedra levará para atingir o chão. Qual a velocidade com que a pedra atinge o chão? Qual a altura máxima atingida pela pedra?
Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja a constante elástica é e o sistema inteiro é submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento (em Newtons) numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa ( ). Determine as equações do movimento (i.e. a posição da massa em qualquer instante) quando:
a) a massa parte do repouso a um ponto 1 m abaixo da posição de equilỉrio;
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Uma carga negativa de massa existe no plano , no qual duas outras cargas positivas estão posicionadas em e , respectivamente, com .
Escreva a força vetorial que age na carga quando ela se encontra na posição .