^a Questão.(3,0 pontos) Resolva os PVIs.
(a) lt y^prime+2 y=sen t y(pi2)=1, t>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) pra resolver, que faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem. A equação que precisamos resolver é:
com a condição inicial t y' + 2 y = sen t e . Vamos precisar rearranjar essa equação para uma forma que a gente consiga resolver usando fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y' + P(t) y = Q(t)
Dividindo tudo por y' + 2t y = sen tt (já que , não tem problema):
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica na equação pra facilitar a resolução. O fator integrante mu(t) = e^integral P(t) , dt = e^integral 2t , dt = e^2 ln t = t^2 é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante t^2 y' + 2 t y = t sen t :
Isso simplifica a equação para:
Porque o lado esquerdo é a derivada do produto ddt(t^2 y) = t sen t .

Passo 5

Agora, integramos os dois lados em relação a integral ddt(t^2 y) , dt = integral t sen t , dt :
O lado esquerdo fica simplesmente u = t Rightarrow du = dt . Para o lado direito, vamos usar integração por partes. Seja:
dv = sen t , dt Rightarrow v = -cos t
Aplicando integração por partes:
Então temos:

Passo 6

Resolva para y(t) = -t cos t + sen t + Ct^2 :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial 1 = -cos(pi2)pi2 + sen(pi2)(pi2)^2 + C(pi2)^2 para encontrar 1 = 0 + 1(pi2)^2 + C(pi2)^2 :
Sabendo que (pi2)^2 = 1 + C e , temos:
C = (pi2)^2 - 1
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Resposta

A solução do PVI é:

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