Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
(f) (Reginaldo)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem:
O conteúdo envolvido aqui inclui equações diferenciais de primeira ordem e métodos para encontrar soluções gerais. Vamos precisar aplicar o método de equações exatas e possivelmente um fator integrante para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Aqui, identificamos que temos uma forma , onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Percebemos que , o que significa que a equação não é exata. Então, vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de .

Passo 4

Calculamos o fator integrante usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, verificamos a exatidão novamente:
Agora, , então a equação é exata.

Passo 6

Encontramos a função potencial integrando em relação a :
Calculando as integrais:
Então:

Passo 7

Derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , ou seja, é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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© (Reginaldo)
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
(Reginaldo)
(a) Resolva o problema de valor inicial:
(Reginaldo) Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de para fora onde a temperatura é de . Após minuto o termômetro marca .
© Em quanto tempo o termômetro irá marcar ?