Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva estão definidos da seguinte maneira:
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e vamos precisar parametrizar a curva, substituir na função vetorial, calcular a derivada e finalmente integrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o campo vetorial em termos de . Isso significa que substituiremos as componentes de na função .
Dado:
Então, substituindo , e na função :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da curva em relação a , que é . Essa derivada nos dá o vetor tangente à curva no ponto .
Derivando cada componente de :

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto escalar entre e . Isso nos dá a função que vamos integrar.
Vamos calcular cada termo separadamente:
Então:

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral de linha usando os limites de fornecidos, que são de a :
Vamos simplificar a integral:
Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Primeiro termo:
Podemos usar substituição , então :
Avaliado de a :
  1. Segundo termo:
Novamente, substituição , :
Avaliado de a :
  1. Terceiro termo:
Para esse termo, podemos usar a substituição e . Vamos usar integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Simplificando:
Sabemos que , então:
Calculando as integrais:
Avaliado de a :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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