Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
e a curva
estão definidos da seguinte maneira:
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e vamos precisar parametrizar a curva, substituir na função vetorial, calcular a derivada e finalmente integrar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o campo vetorial
em termos de
. Isso significa que substituiremos as componentes de
na função
.
Dado:
Então, substituindo
,
e
na função
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da curva
em relação a
, que é
. Essa derivada nos dá o vetor tangente à curva
no ponto
.
Derivando cada componente de
:
Passo 4
O próximo passo é calcular o produto escalar entre
e
. Isso nos dá a função que vamos integrar.
Vamos calcular cada termo separadamente:
Então:
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral de linha usando os limites de
fornecidos, que são de
a
:
Vamos simplificar a integral:
Vamos integrar cada termo separadamente.
- Primeiro termo:
Podemos usar substituição
, então
:
Avaliado de
a
:
- Segundo termo:
Novamente, substituição
,
:
Avaliado de
a
:
- Terceiro termo:
Para esse termo, podemos usar a substituição
e
. Vamos usar integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Calculando as integrais:
Avaliado de
a
:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
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Seja
a porção da curva
entre
e
. Encontre
.