Encontre integralC F cdot d s, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
e) F=x i+x y j+x y z k, r(t)=(3 cos t, 2 sin t, 5 t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha F = x i + x y j + x y z k , onde o campo vetorial r(t) = (3 cos t, 2 sin t, 5 t), 0 <= t <= 2 pi e a curva estão definidos da seguinte maneira:
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e vamos precisar parametrizar a curva, substituir na função vetorial, calcular a derivada e finalmente integrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o campo vetorial r(t) = (3 cos t, 2 sin t, 5 t) em termos de F(t) = 3 cos t i + (3 cos t)(2 sin t) j + (3 cos t)(2 sin t)(5 t) k . Isso significa que substituiremos as componentes de F(t) = 3 cos t i + 6 cos t sin t j + 30 t cos t sin t k na função .
Dado:
Então, substituindo , e na função :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da curva r'(t) = ( ddt[3 cos t], ddt[2 sin t], ddt[5 t] ) em relação a r'(t) = (-3 sin t) i + (2 cos t) j + 5 k , que é . Essa derivada nos dá o vetor tangente à curva no ponto .
Derivando cada componente de :

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto escalar entre F(t) cdot r'(t) = [3 cos t] cdot [-3 sin t] + [6 cos t sin t] cdot [2 cos t] + [30 t cos t sin t] cdot [5] e F(t) cdot r'(t) = -9 cos t sin t + 12 cos^2 t sin t + 150 t cos t sin t . Isso nos dá a função que vamos integrar.
Vamos calcular cada termo separadamente:
Então:

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral de linha usando os limites de integralC F cdot d s = integral0^2pi ( -9 cos t sin t + 12 cos^2 t sin t + 150 t cos t sin t ) dt fornecidos, que são de integral0^2pi (-9 cos t sin t) , dt + integral0^2pi (12 cos^2 t sin t) , dt + integral0^2pi (150 t cos t sin t) , dt a integral0^2pi -9 cos t sin t , dt :
-9 integral u , du = -92 u^2 = -92 cos^2 t
Vamos simplificar a integral:
-92 [cos^2 (2pi) - cos^2 (0)] = -92 [1 - 1] = 0
Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Primeiro termo:
integral0^2pi 12 cos^2 t sin t , dt
Podemos usar substituição -12 integral u^2 , du = -4 u^3 = -4 cos^3 t , então -4 [cos^3 (2pi) - cos^3 (0)] = -4 [1 - 1] = 0 :
integral0^2pi 150 t cos t sin t , dt
Avaliado de u = t Rightarrow du = dt a dv = cos t sin t , dt Rightarrow v = sin^2 t2 :
150 [ t cdot sin^2 t2 - integral sin^2 t2 , dt ]
  1. Segundo termo:
75 t sin^2 t - 75 integral sin^2 t , dt
Novamente, substituição 75 t sin^2 t - 75 integral 1 - cos 2t2 , dt = 75 t cdot 1 - cos 2t2 - 752 integral (1 - cos 2t) , dt , = 752 t (1 - cos 2t) - 752 ( t - sin 2t2 ) :
= 752 t - 752 t cos 2t - 752 t + 754 sin 2t
Avaliado de = -752 t cos 2t + 754 sin 2t a [ -752 (2pi) cos 4pi + 754 sin 4pi ] - [ -752 (0) cos 0 + 754 sin 0 ] :
= -752 cdot 2pi cdot 1 + 0 - 0 = -75pi
  1. Terceiro termo:
Para esse termo, podemos usar a substituição e . Vamos usar integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Simplificando:
Sabemos que , então:
Calculando as integrais:
Avaliado de a :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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