Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, quando elas se aproximam de
. A matéria que estamos mexendo aqui é o cálculo de limites em funções multivariáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam perto do ponto onde estamos indo, além de usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece com as funções dentro do limite quando
se aproxima de
. Calculando
:
Então,
fica:
E para o denominador,
:
Isso nos dá uma forma
, que é uma situação indeterminada. Então, precisamos simplificar a expressão para entender melhor o limite.
Passo 3
Vamos observar que o denominador é três vezes o numerador:
Isso significa que podemos reescrever a expressão do limite assim:
Passo 4
Sabemos que, para valores pequenos de
,
e
. Como
está se aproximando de 0, podemos aplicar essa aproximação:
Passo 5
Substituindo essas aproximações na expressão do limite, temos:
Aqui, o
cancela no numerador e denominador, restando apenas
.
Resposta
O limite é
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Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
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