Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 12 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de 12x^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0, 0). Esse problema está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis na Matemática. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto (0, 0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: 2x^2 + y^2. Quando (x, y) se aproxima de (0, 0), tanto x quanto y estão indo para zero. Então, 2x^2 e y^2 também vão para zero, fazendo com que o denominador se aproxime de zero.

Passo 3

Agora, vamos pensar no numerador, que é 1. Se o denominador está se aproximando de zero e o numerador é uma constante, a fração inteira 12x^2 + y^2 está ficando cada vez maior, já que estamos dividindo 1 por um número cada vez menor.

Passo 4

Para ter certeza de que o limite realmente tende ao infinito, podemos verificar se, independentemente do caminho que escolhemos para nos aproximar de (0, 0), o resultado será o mesmo. Por exemplo:
  • Se y = 0, então a expressão fica 12x^2. À medida que x se aproxima de 0, isso tende a infinito.
  • Se x = 0, a expressão fica 1y^2. À medida que y se aproxima de 0, isso também tende a infinito.
  • Se escolhermos um caminho como y = x, a expressão fica 12x^2 + x^2 = 13x^2, que também tende a infinito quando x vai para 0.

Resposta

Portanto, o limite é +infty.

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